最近在项目上需要控制直流无刷电机，使用到FOC及PID算法，进行FOC运算的时候需要用到三角函数和反三角函数，因此不可避免的就是浮点数的运算，而使用的MCU不带有浮点单元，因此需要使用Q格式来简化，提高计算速度。后期等项目结束后准备来详细分享一下FOC算法的实现，控制三相无刷直流电机，进而可以拓展使用机器人的关节电机及其驱动。今天的重点不在这里，还是回归主题介绍一Q格式以及其如何实现浮点数（定点数）的运算。
Q格式
Q格式是二进制的定点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）；需要注意的是Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度。
定点数：小数点位置为确定的。
浮点数：小数点位置可以改变。
Q数据的表示
a) 范围和精度
定点数通常表示为Qm.n，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储；
无符号的用UQm.n表示；
范围：[0，2m−2−n]
精度：2−n
b) 推导
无符号Q格式数据的推导
这里以一个16位无符号整数为例，UQ9.7所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；
所以不难看出，UQ9.7的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：
Sumi=28+27+26+25+24+23+22+21+20=29−1
小数域最大值如下：
Sumf=2−1+2−2+2−3+2−4+2−5+2−6+2−7=1−2−7
因此UQ9.7的范围满足 [0，29−2−7]
有符号Q格式数据的推导
这里以一个16位有符号整数为例，UQ9.7所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；
所以不难求出，UQ9.7的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：
Sumi=27+26+25+24+23+22+21+20 = 28−1
小数域最大值如下：
Sumf=2−1+2−2+2−3+2−4+2−5+2−6+2−7 = 1−2−7
因此Q9.7最大能表示的数为：28−2−7
Q9.7所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示；
可以从图中看到，该数表示为−28；
补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的，补码=反码+1，符号位为1则表示为负数；那么-4该如何表示呢？以8 bit数据为例，如下所示；
原码：0B 0000 100
反码：0B 1111 011
补码：0B 1111 100
综上，可以得到有符号Q9.7的范围是：[−28，28−2−7]
1.9.3 Q数据的运算
a) 0x7FFF
最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示；
b) 0x8000
最小数的十六进制为0X8000，如下图所示；
上述这两种情况，下面都会用到。
c) 加法
加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即Qm1.n1和Qm2.n2满足以下条件；
{m1=m2 n1=n2}
int16_t q_add(int16_t a, int16_t b) { return a + b; }
上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示；
int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b) { int16_t result; int32_t tmp; tmp = (int32_t)a + (int32_t)b; if (tmp > 0x7FFF) tmp = 0x7FFF; if (tmp < -1 * 0x8000) tmp = -1 * 0x8000; result = (int16_t)tmp; return result; }
d) 减法
类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况；
int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b) { return a - b; }
e) 乘法
乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理；
// precomputed value: #define K (1 << (Q - 1)) // saturate to range of int16_t int16_t sat16(int32_t x) { if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF; else if (x < -0x8000) return -0x8000; else return (int16_t)x; } int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b) { int16_t result; int32_t temp; temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type // Rounding; mid values are rounded up temp += K; // Correct by dividing by base and saturate result result = sat16(temp >> Q); return result; }
f) 除法
int16_t q_div(int16_t a, int16_t b) { /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */ int32_t temp = (int32_t)a << Q; /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */ /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */ if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) { temp += b / 2; /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */ } else { temp -= b / 2; /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */ } return (int16_t)(temp / b); }
1.9.4 常见Q格式的数据范围
定点数Xq和浮点数Xf转换的关系满足以下公式：
Xq=(int)Xf∗2n
Xf=(float)Xf∗2−n
其中XqXq为Qm.nQm.n，m表示整数位数，n表示小数位数；
#include <stdio.h> #include <stdint.h> #include <math.h> int main() { // 0111 1111 1111 1111 int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF // 1000 0000 0000 0000 int16_t q_min = -32768; // 0x8000 float f_max = 0; float f_min = 0; printf("\r\n"); for (int8_t i = 15; i>=0; i--) { f_max = (float)q_max / pow(2,i); f_min = (float)q_min / pow(2,i); printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n", i,(15-i),i,f_max,f_min); } return 0; }
运行得到结果如下所示：
Q 格式 |
Qmn |
Max |
Min |
Q 15 |
Q 0.15 |
0.999969 |
-1.000000 |
Q 14 |
Q 1.14 |
1.999939 |
-2.000000 |
Q 13 |
Q 2.13 |
3.999878 |
-4.000000 |
Q 12 |
Q 3.12 |
7.999756 |
-8.000000 |
Q 11 |
Q 4.11 |
15.999512 |
-16.000000 |
Q 10 |
Q 5.10 |
31.999023 |
-32.000000 |
Q 9 |
Q 6.9 |
63.998047 |
-64.000000 |
Q 8 |
Q 7.8 |
127.996094 |
-128.000000 |
Q 7 |
Q 8.7 |
255.992188 |
-256.000000 |
Q 6 |
Q 9.6 |
511.984375 |
-512.000000 |
Q 5 |
Q 10.5 |
1023.968750 |
-1024.000000 |
Q 4 |
Q 11.4 |
2047.937500 |
-2048.000000 |
Q 3 |
Q 12.3 |
4095.875000 |
-4096.000000 |
Q 2 |
Q 13.2 |
8191.750000 |
-8192.000000 |
Q 1 |
Q 14.1 |
16383.500000 |
-16384.000000 |
Q 0 |
Q 15.0 |
32767.000000 |
-32768.000000 |
注意在Q格式运算的时候，两者定标必须相同，对于数据的溢出检测也要做相应的处理。
