K倍区间（蓝桥杯每日一题）

K倍区间（蓝桥杯每日一题）

给定一个长度为 N的数列，A1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj之和是 K的倍数，我们就称这个区间 [i,j]是 K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 N和 K。

以下 N行每行包含一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数，代表 K倍区间的数目。

数据范围

1≤N,K≤100000

,

1≤Ai≤100000

输入样例：

5 2

1

2

3

4

5

输出样例：

6

算法思路

这个题算得上是前缀和的一个应用

这里想要知道一个区间是否为k的倍数，需要对每一个前缀和区间进行计数

这个理论就是对于一个区间[l, r],

(sum[i]-sum[j])%k=0，那么有sum[i]%k-sum[j]%k=0，可以推导出

sum[r] % k 和 sum[l-1] % k 的余数如果相等

那么sum[r] - sum[l-1]的差值必然是k的倍数

这样就可以理解ans += res[sum[i]]的含义了

res[sum[i]]想要可以被ans+=需要满足后面的前缀和%k之后

获得了同样的一个结果，因为每次的res[sum[i]]的结果都会++，统计

不同的res[sum[i]的出现次数，一旦后面这个结果触发了

ans += res[sum[i]]这个条件，那么就代表出现了至少一个区间[l,r]

使得满足题目的条件是k的倍数

最后的结果还需要加上res[0],这里指的是某个数是k的倍数，ans存放的是至少有两个数的区间。

C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
int sum[N], a[N], res[N];
int n, k;
ll ans = 0;
/*
这个题算得上是前缀和的一个应用
这里想要知道一个区间是否为k的倍数，需要对每一个前缀和区间进行计数 
这个理论就是对于一个区间[l, r],
(sum[i]-sum[j])%k=0，那么有sum[i]%k-sum[j]%k=0，可以推导出
sum[r] % k 和 sum[l-1] % k 的余数如果相等
那么sum[r] - sum[l-1]的差值必然是k的倍数 
这样就可以理解ans += res[sum[i]]的含义了
res[sum[i]]想要可以被ans+=需要满足后面的前缀和%k之后
获得了同样的一个结果，因为每次的res[sum[i]]的结果都会++，统计
不同的res[sum[i]的出现次数，一旦后面这个结果触发了
ans += res[sum[i]]这个条件，那么就代表出现了至少一个区间[l,r]
使得满足题目的条件是k的倍数 
最后的结果还需要加上res[0],这里指的是某个数是k的倍数，ans存放的是至少有两个数的区间。
*/
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        cin >> a[i];
        sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % k;
        // cout << "sum[i]:" << sum[i] << endl;
        ans += res[sum[i]];
        res[sum[i]] ++;
    }
    cout << ans + res[0] << endl;
    return 0;
}

Java

这个题算得上是前缀和的一个应用

这里想要知道一个区间是否为k的倍数，需要对每一个前缀和区间进行计数

这个理论就是对于一个区间[l, r],

(sum[i]-sum[j])%k=0，那么有sum[i]%k-sum[j]%k=0，可以推导出

sum[r] % k 和 sum[l-1] % k 的余数如果相等

那么sum[r] - sum[l-1]的差值必然是k的倍数

这样就可以理解ans += res[sum[i]]的含义了

res[sum[i]]想要可以被ans+=需要满足后面的前缀和%k之后

获得了同样的一个结果，因为每次的res[sum[i]]的结果都会++，统计

不同的res[sum[i]的出现次数，一旦后面这个结果触发了

ans += res[sum[i]]这个条件，那么就代表出现了至少一个区间[l,r]

使得满足题目的条件是k的倍数

最后的结果还需要加上res[0],这里指的是某个数是k的倍数，ans存放的是至少有两个数的区间。

import java.util.*;
public class Main
{
static int N = 100010;
static int [] sum = new int [N];
static int [] a = new int [N];
static int [] res = new int [N];
public static void main(String[] args)
{
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n, k, ans = 0;
n = in.nextInt();
k = in.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
a[i] = in.nextInt();
sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % k;
ans += res[sum[i]];
res[sum[i]] ++;
}
System.out.println(ans + res[0]);
}
}