快速排序递归实现
前言
快速排序是Hoare于1962年提出的一种 二叉树结构的交换排序方法。
一、Hoare版本
（一）算法运行图例
（二）算法核心思路
任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合 分割成两子序列 ，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
（三）算法实现步骤
（1）单趟
- 找一key 【注意：我们实际上控制的是key的下标keyi，而不是用新开辟的变量去储存它的值，用新开辟的变量去储存，最后交换的也只是与该变量进行交换，而不是在数组中与原数组的值进行交换】
【图讲解】 - begin从左开始遍历，左边找比key大的。end从右开始遍历，右边找比key小的。等于key的值不动。
- 两边都找到了，互换
- 最后相遇的地方（就是key排好序后要放的位置（正确的位置））与key互换 【有理论支持的，请看下文】
此时 【左边的都比key小】中间key【右边的都比key大】
要是左右要是都有序 =》整体实现有序 （多趟解决）
（2）多趟
- 对排好的key的左边再进行单趟排序
- 对排好的key的右边再进行单趟排序
- 左边右边分别再排好两边key的位置，再分左右，再进行单趟
类似 二叉树前序递归的思想：根、左子树、右子树。
（四）码源详解 递归实现
（1）Hoare版本：先行版
按照思路写出来 了，大家看看都存在些什么问题。
//递归实现 // Hoare版本（先行版） int PartSort1(DataType* a,int left,int right) { int key = a[left]; while (left < right) { //相遇是跳出循环的条件 //right 先走 if (a[key] < a[right]) { right--; } //找到a[right]<a[keyi]的情况就停下 if (a[left] < a[key]) { //left 同理 left++; } Swap(&a[left], &a[right]); //都找到后互换 } Swap(&a[left], &a[key]);//相遇后跳出循环 交换a[keyi]和left,right相遇的位置 }
- 坑1：a[key] < a[right]，若a[key] 一直比 a[right]要小，则right则回一直向左right–遍历，则会出现越界的问题（同理left那边也是）
- 解决方法：left<right,控制right不要越界，避免该序列本来就是有序（一直比a[keyi]要大而一直right–，越出边界的情况）的情况
- 坑2：a[keyi] < a[right]，若不跳则要是两边都遇到相等的值，则两边无法再进入if（）语句进行right–或left++，而进入死循环
- 解决方法：a[keyi]<=a[right]时，都跳
- 坑3：int key = a[left]; Swap(&a[left], &a[key]); 真正在换的是哪个？key是局部变量，相当于在栈区开辟了一块空间，用于存储a[left]的值。实际与数组a[left]进行交换的，是局部变量这块空间里面的值，对数组原始的最左边并不产生任何影响
- 解决方法：int left = keyi; 记录的应该是下标，通过控制下标来达到改变原数组
（2）Hoare版本：发行版
// Hoare版本（发行版） int PartSort1(DataType* a, int left, int right) { int keyi = left; //保存left的下标 while (left < right) { //相遇是跳出循环的条件 //right 先走 if (left < right && a[keyi] <= a[right]) { //left<right,控制right不要越界，避免该序列本来就是有序（一直比a[keyi]要大而一直right--，越出边界的情况）的情况 right--; } //找到a[right]<a[keyi]的情况就停下 if (left < right && a[left] <= a[keyi]) { //left 同理 left++; } Swap(&a[left], &a[right]); //都找到后互换 } Swap(&a[left], &a[keyi]);//相遇后跳出循环 交换a[keyi]和left,right相遇的位置 }
（五）Hoare算法 实现背后的理论支持
★☆ 最后相遇的地方 就是key排好序后要放的位置（正确的位置）是怎么做到的呢？
右边先走做到的。
有了上面的理论保证，停下来的值一定比key小，才敢进行交换。
（六）效率优化
Hoare排序的效率分析
（1）时间复杂度 O（N*logN）
如果每次选到的 key=a[ left ] 都是中位数，这将会非常高效
【因为每单趟排好一次，key就能落入到其正确的位置】
- 理想状态下是：满二叉树的分割【二分 O（N*logN）】
- 而最差的情况：有序（接近有序）【每次取到的key都选到整个数组中次大或次小的数，每个key，left或right都要遍历一遍数组， O（N^2）】 但随机取的值肯定不是像这样有序（或接近有序）的（这种都是已经给你排好了的）
所以总体来说，Hoare在时间复杂度上是更接近于 O（N*logN） 的 。
稳定性： 不稳定
（七）代码优化
（1）三数取中
那么我们针对序列可能会出现最差情况（有序的情况），做一个程序优化——三数取中 。
1）优化思路
int mid=（left+right）/ 2 ；
对比 a[mid]、a[left]、a[right] 三个值，取值大小为中间的那个数 。【大大降低了取两边极端的可能，让取到的数更偏向于有序序列中间的数】
//三数取中 取的不是位置在中间的值，而是值大小位于中间的值 int Getmidi(DataType* a,int left,int right) { int mid = (left + right) / 2; //left mid right if (a[left] < a[mid]) { if (a[mid] < a[right]) //mid为中间值 return mid; else if (a[left] > a[right]) { //mid为最大值 return left; //left为中间值 } else { return right; } } else { //a[left]>a[mid] if (a[mid] > a[right]) { //mid为中间值 return mid; } else if (a[left]<a[right]) { //left为中间值，mid最小 return left; } else { return right; } } }
2）三数取中优化 后的代码
//三数取中 取的不是位置在中间的值，而是值大小位于中间的值 int Getmidi(DataType* a,int left,int right) { int mid = (left + right) / 2; //left mid right if (a[left] < a[mid]) { if (a[mid] < a[right]) //mid为中间值 return mid; else if (a[left] > a[right]) { //mid为最大值 return left; //left为中间值 } else { return right; } } else { //a[left]>a[mid] if (a[mid] > a[right]) { //mid为中间值 return mid; } else if (a[left]<a[right]) { //left为中间值，mid最小 return left; } else { return right; } } } // Hoare版本（发行版） int PartSort1(DataType* a, int left, int right) { //三数取中 int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); //交换a[left]与a[midi]值的位置 int keyi = left; //保存left的下标 while (left < right) { //相遇是跳出循环的条件 //right 先走 if (left < right && a[keyi] <= a[right]) { //left<right,控制right不要越界，避免该序列本来就是有序（一直比a[keyi]要大而一直right--，越出边界的情况）的情况 right--; } //找到a[right]<a[keyi]的情况就停下 if (left < right && a[left] <= a[keyi]) { //left 同理 left++; } //坑1：a[keyi] < a[right]，若不跳则要是两边都遇到相等的值，则两边无法再进入if（）语句进行right--或left++，而进入死循环 //更正：a[keyi]<=a[right]时，都跳 Swap(&a[left], &a[right]); //都找到后互换 } Swap(&a[left], &a[keyi]);//相遇后跳出循环 交换a[keyi]和left,right相遇的位置 }
3）效果对比
对 有序/接近有序 的序列中优化效果明显。
对 随机 就正常。
（2）小区间优化—— 小区间不再进行递归分割排序，降低递归次数
1）优化思路
满二叉树整体节点的个数：2^h-1（ 等比数列求和 ）。
最后一层的节点数就已经占了整体的 50% 。
最后三层的节点数就已经约占整体的 80% 的节点个数了 。
那么最后这三层约占整体80%的节点数，若采用递归的方式，将是对栈帧的一个很大的开销。因为我们最后这三层区间被分的比较小了，若采用更适用于小区间数排序的优化，无疑是对效率很大的提升！
那么小区间优化我们可以选择哪个小区间数排序方式呢？
希尔排序：数据大时比较有序（目的：让大的数更快的到后面去）
插入排序：少的数（最坏情况：逆序，比所有数都小）
因为小区间，数比较少，对比起来比较快，所以这里选择 插入排序 更快速便捷高效。
//小区间优化版本—— 小区间不再进行递归分割排序，降低递归次数 void QuickSort1(DataType* a, int begin, int end) { if (begin >= end) return; //10个数就已经占3层递归了，而递归层数中，尾三层所占节点的总数 约占80%，这尾三层再继续用递归的方法，而改用小区间数据排序优化的思路，能让程序整体得到进一步的优化 if ((end - begin + 1) > 10) { int keyi = PartSort3(a, begin, end); QuickSort1(a, begin, keyi - 1); QuickSort1(a, keyi+1, end); } else { //改用小区间数据优化排序 InsertSort(a + begin, end - begin + 1); // a+begin 找到对应数组所在的位置 } }
2）整体优化后的完整代码
//三数取中 取的不是位置在中间的值，而是值大小位于中间的值 int Getmidi(DataType* a,int left,int right) { int mid = (left + right) / 2; //left mid right if (a[left] < a[mid]) { if (a[mid] < a[right]) //mid为中间值 return mid; else if (a[left] > a[right]) { //mid为最大值 return left; //left为中间值 } else { return right; } } else { //a[left]>a[mid] if (a[mid] > a[right]) { //mid为中间值 return mid; } else if (a[left]<a[right]) { //left为中间值，mid最小 return left; } else { return right; } } } // Hoare版本（发行版） int PartSort1(DataType* a, int left, int right) { //三数取中 int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); //交换a[left]与a[midi]值的位置 int keyi = left; //保存left的下标 while (left < right) { //相遇是跳出循环的条件 //right 先走 if (left < right && a[keyi] <= a[right]) { //left<right,控制right不要越界，避免该序列本来就是有序（一直比a[keyi]要大而一直right--，越出边界的情况）的情况 right--; } //找到a[right]<a[keyi]的情况就停下 if (left < right && a[left] <= a[keyi]) { //left 同理 left++; } //坑1：a[keyi] < a[right]，若不跳则要是两边都遇到相等的值，则两边无法再进入if（）语句进行right--或left++，而进入死循环 //更正：a[keyi]<=a[right]时，都跳 Swap(&a[left], &a[right]); //都找到后互换 } Swap(&a[left], &a[keyi]);//相遇后跳出循环 交换a[keyi]和left,right相遇的位置 } //小区间优化版本—— 小区间不再进行递归分割排序，降低递归次数 void QuickSort1(DataType* a, int begin, int end) { if (begin >= end) return; //10个数就已经占3层递归了，而递归层数中，尾三层所占节点的总数 约占80%，这尾三层再继续用递归的方法，而改用小区间数据排序优化的思路，能让程序整体得到进一步的优化 if ((end - begin + 1) > 10) { int keyi = PartSort3(a, begin, end); QuickSort1(a, begin, keyi - 1); QuickSort1(a, keyi+1, end); } else { //改用小区间数据优化排序 InsertSort(a + begin, end - begin + 1); // a+begin 找到对应数组所在的位置 } }
二、挖坑法版本
前言
挖坑法是Hoare排序的一个思路上的优化：不用再考虑为什么右边先走。
因为一开始的坑就在左边，那么一开始就得先从右边开始找，找比坑小的数。
（一）算法运行图例
（二）算法核心思路
和Hoare的思路一样，只不过这里是先挖好一个坑，再开始排。如果在左边挖坑，则从右边开始找；如果在右边挖坑，则从左边开始找。
（三）算法实现步骤
（1）单趟
- int key = a[left]; //保存好key值以后,左边形成第一个坑
- 右边先走，找小，填到左边的坑，右边形成新的坑
- 左边再走，找大，填到右边的坑，左边形成新的坑位
- left、right 相遇，跳出循环。最终相遇，一定在坑上相遇（因为left、right其中一个必在坑位上）且该坑位就是key值该在的有序序列中正确的位置（ 和Hoare版本的同理 ） 。将key保留的最开始坑位的值赋给现在left、right相遇所在的坑位。
（2）多趟
- 对排好的key的左边再进行单趟排序
- 对排好的key的右边再进行单趟排序
- 左边右边分别再排好两边key的位置，再分左右，再进行单趟
（四）码源详解
// 快速排序——挖坑法 int PartSort2(int* a, int left, int right) { //三数取中——取位值位于中间的值 int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); int key = a[left]; //保存好key值以后,左边形成第一个坑 int hole = left; //单趟完成的返回的条件 while (left < right) { //右边先走，找小，填到左边的坑，右边形成新的坑 while (left < right && key <= a[right]) { right--; } a[hole] = a[right]; hole = right; //左边再走，找大，填到右边的坑，左边形成新的坑位 while (left < right && a[left] <= key) { left++; } a[hole] = a[left]; hole = left; } //最后把储存的key的值填入坑位，不用怕坑位的数被覆盖，因为原坑位的数在这之前就已经赋到其他地方了 a[hole] = key; return hole; //返回已经排好正确位置的坑位位置 }
三、前后指针版本
（一）算法运行图例
（二）算法核心思路
cur一直向前遍历，不管是遇到大的还是遇到小的。
而prev遇小的向前++，把小的交换过来；遇到大的就停下，等遇到小的时候就++将其交换覆盖。旨在把小的放其左边，大的放其右边。
cur越界后，遍历结束。此时 prev 所在的地方，正是key值该在的有序序列中正确的地方。
（三）算法实现步骤
（1）单趟
- 三数取中 _ 取中间值 赋给key
- int prev = left ; int cur = prev + 1;
cur遇比key小的，交换Swap(&a[++prev],&a[cur]);（把小的放其左边） - cur越界，遍历结束
- Swap ( &a[prev],&a[keyi] ); 此时 prev 所在的地方，正是key值该在的有序序列中正确的地方。
（2）多趟
- 对排好的key的左边再进行单趟排序
- 对排好的key的右边再进行单趟排序
- 左边右边分别再排好两边key的位置，再分左右，再进行单趟
（四）码源详解
- 先行版
这样写存在什么问题？
// 快速排序前后指针法 —— 先行版 int PartSort3(int* a, int left, int right) { int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); int prev = left; int cur = prev + 1; int keyi = left; while (cur <= right) { //cur越界结束 while (cur <= right && a[cur] > a[keyi]) { //没有碰到比key小的就一直向后遍历 cur++; } //找到了 ++prev; //遇小的了就++prev，Swap(&a[prev], &a[cur]);交换 Swap(&a[prev], &a[cur]); } //cur越界后，代表遍历结束 //在a[++prev] 的位置将key值赋予它（key该在的正确位置） Swap(&a[prev], &a[keyi]); return prev; }
当cur一直没有再遇到小的，cur将会越界，而这仅会跳出内层（cur向后遍历）的循环，但程序仍在外层交换的循环中走。
所以cur越界后，程序仍要向下运行代码，这时交换的不再是数组中的数值，而是数组外后一位cur越界后位置的数值。
所以应不再进行交换。交换已经结束了。应跳出外层交换 a[prev] 和 a[cur] 的循环。进行下一步 a[prev] 与 a[keyi] 的交换，交换到key在有序中的正确位置。
- 发行版（一）
当判断出cur越界，即可break跳出循环，不再进行 a[prev] 与 a[cur] 的交换
// 快速排序前后指针法 —— 先行版 int PartSort3(int* a, int left, int right) { int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); int prev = left; int cur = prev + 1; int keyi = left; while (cur <= right) { //cur越界结束 while (cur <= right && a[cur] > a[keyi]) { //没有碰到比key小的就一直向后遍历 cur++; } if (cur > right) { //当判断出cur越界，即可break跳出循环，不再进行 a[prev] 与 a[cur] 的交换 break; } //找到了 ++prev; //遇小的了就++prev，Swap(&a[prev], &a[cur]);交换 Swap(&a[prev], &a[cur]); } //cur越界后，代表遍历结束 //在a[++prev] 的位置将key值赋予它（key该在的正确位置） Swap(&a[prev], &a[keyi]); return prev; }
- 发行版（二）
// 快速排序前后指针法 int PartSort3(int* a, int left, int right) { int midi = Getmidi(a, left, right); Swap(&a[left], &a[midi]); int prev = left; int cur = prev + 1; int keyi = left; while (cur <= right) { //cur越界结束 //写法一 if (a[cur] < a[keyi]) { Swap(&a[++prev],&a[cur]); //在还没遇到大的之前，cur = prev + 1; a[++prev] = a[cur];数组自己与自己交换 //遇小交换的意义：将比其小的值放左边，比其大的值放右边 } //写法二 if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur); { //如果不想要自己与自己交换的这种不必要的交换，++prev != cur条件也可以这么写 Swap(&a[prev], &a[cur]); } cur++; } //cur越界后，代表遍历结束 //在a[prev] 的位置将key值赋予它（key该在的正确位置） Swap(&a[prev],&a[keyi]); return prev; }
