专题二 MATLAB矩阵处理-1

简介: 专题二 MATLAB矩阵处理

一、特殊矩阵

1、通用的特殊矩阵


(1)-zeros函数:产生全为0的矩阵,即零矩阵

-ones函数:产生全为1的矩阵,及幺矩阵

-eye函数:产生对角线全为1的矩阵,当矩阵是方阵时,得到一个单位矩阵

-rand函数:产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵

-randn函数:产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵

(2)以上函数的调用格式相似,以zeros函数为例子:

-zeros(m):产生m * m的零矩阵

-zeros(m,n):产生m * n的零矩阵

-zeros(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵

(3)若要产生n阶矩阵,且矩阵的元素均在区间[a,b]上:

-fix(a+(b-a+1)*rand(n))

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(4)若要产生n阶矩阵,且矩阵是均值为μ,方差为σ²的正态分布:

-μ+σ * randn(n)


2、用于专门学科的特殊矩阵


(1)魔方矩阵(Magic Square)

n阶魔方矩阵由1,2,3,……,n²共n²个整数组成,且每行、每列及主副对角线上各n个元素之和都相等。

n阶魔方矩阵每行每列元素的和为(1+2+3+……+n²)/n=(n+n^3)/2

magic()函数可以产生一个特定的魔方阵

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(2)范德蒙矩阵

vander(V)函数:生成以向量V为基础的范德蒙矩阵


(3)希尔伯特矩阵

hilb(n)函数:生成n阶希尔伯特矩阵

希尔伯特矩阵是高度病态(即,任何一个元素发生一点变动,整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化),病态程度和阶数相关,阶数越大,病态越严重。


(4)伴随矩阵

compan§函数:生成伴随矩阵,其中p是一个多项式的系数向量,高次幂系数在前,低次幂系数在后。



(5) 帕斯卡矩阵

根据二项式定理,(x+y)^n展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表,即杨辉三角形。

把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上,然后提取左侧的n行n列元素,即为n阶帕斯卡矩阵。

故P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j),且P(1,j)=1,P(i,1)=1

pascal(n)函数:生成一个n阶帕斯卡矩阵


二、矩阵变换


1.对角阵

对角矩阵:只有对角线上有非零元素的矩阵

数量矩阵:对角线上的元素相等的对角矩阵

单位矩阵:对角线上的元素都为1的对角矩阵


(1)提取矩阵的对角线元素

diag(A):提取矩阵A主对角线元素,产生一个列向量

diag(A,k):提取矩阵A第k条对角线的元素,产生一个列向量


(2)构造对角矩阵

diag(V):以向量V为主对角线元素,产生对角矩阵

diag(V,k):以向量V为第k条主对角线元素,产生对角矩阵


2、三角阵

(1)上三角阵

上三角阵:矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵

triu(A):提取矩阵A的主对角线及以上的元素

triu(A,k):提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素


(2)下三角阵

下三角阵:矩阵的对角线以上的元素全为零的矩阵

tril(A):提取矩阵A的主对角线及以下的元素

tril(A,k):提取矩阵A的第k条对角线及以下的元素


3、矩阵的转置

转置运算符是小数点后接单引号,即 .’

共轭转置运算符是单引号,即 ’


4、矩阵的旋转

rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍,当k为1时可省略,当k为负数时表示顺时针旋转。


5、矩阵的翻转

矩阵左右翻转:是将矩阵的第n列和倒数第n列调换

fliplr(A):对矩阵A实施左右翻转

矩阵上下翻转:是将矩阵的第n行和倒数第n行调换

flipud(A):对矩阵A实施上下翻转

例子:证明魔方矩阵的主对角线、副对角线元素之和相等


6、矩阵的逆

inv(A):求矩阵A的逆

例子:求解线性方程组:

x+2y+3z=5

x+4y+9z=-2

x+8y+27z=6

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