介绍
nDCG（Normalized Discounted Cumulative Gain）归一化折损累计增益是一种用于评估排序模型性能的指标，它考虑了两个方面：排序的正确性和相关性的程度。
学习nDCG按照Gain、CG、DCG、iDCG、nDCG这个顺序来学习。
假设现在你有一个标签序列：
如果是打分数据集，那么A分数最高（3），D最低（0），这样真实顺序为ABCD；
如果是点击数据集，那么AC分数有（1），BD无（0），这样标签为AC，顺序无所谓；
增益Gain
增益Gain就表示第i个标签位置的得分。这里r e l ( i )表示分数，这个分数到底是什么？分数是什么什么取决于数据集的对应位置存的是什么。
如果是用的是推荐的显示反馈，也就是打分数据集（1-5分），那么这个1-5的打分就是计算时要用的分数。如果用的隐式反馈，也就是用户点击数据集，那这个分数就是0-1。1表示用户点击过，0表示未点击过。
那么在上面举例中：在打分数据集，可以说标签A的增益为3、B为2……
累计增益 CG
累计增益 CG表示前k个位置累计得到的效益。CG必须要指定topk中的k才可以计算，不然在不同的情况下，A用户有100个标签、B用户只有10个标签，这样去统计CG就没意义了。
那么在上面举例中：在打分数据集，如果标签为[A,B,C,D]或[B,A,C,D]，CG@2 = 5。所以，顺序不影响CG得分。如果我们想评估不同顺序的影响，就需要使用另一个指标DCG来评估。
折损累计增益 DCG
CG只是单纯累加相关性，不考虑位置信息。考虑排序顺序的因素，使得排名靠前的item增益更高，对排名靠后的item进行折损。CG与顺序无关，而DCG评估了顺序的影响。DCG的思想是：list中item的顺序很重要，不同位置的贡献不同，一般来说，排在前面的item影响更大，排在后面的item影响较小。
那么在上面举例中：在打分数据集，如果标签为[A,B,C,D]：DCG@2 = 3/log(2) + 2/log(3) = 6.149；如果标签为[B,A,C,D]：DCG@2 = 2/log(2) + 3/log(3) = 5.616；我们发现肯定是越靠近原始标签顺序，折损累计增益越大。
理想折损累计增益 IDCG
IDCG是指理想情况下的DCG，即DCG取得最大值的情况，就是数据集中的顺序。公式为：
它和DCG没区别，只是DCG算的是模型预测出来的标签顺序去算分，IDCG算的是数据集中的真实标签顺序去算分，所以DCG不可能比IDCG大。
归一化折损累计增益 nDCG
除以IDCG，把分数约束到[0,1]。
计算举例
假如现在模型对标签A-B-C-D预测的分数是[0.111, 0.222, 0.001, 0.10]
那么要对分数排个序即[0.222, 0.111, 0.10, 0.001]
那么模型预测出来的标签顺序为B-A-D-C
模型预测出来的标签顺序B-A-D-C在数据集里面的评分是[2, 3, 0, 1]
nDGC@3 = [2/log(2) + 3/log(3) + 0/log(4)] / [3/log(2) + 2/log(3) + 1/log(4)] = 0.8174935137996165
