说明
近期项目中有涉及到向量运算的公式,其中有一个内容是向量三重积,即:
过去的基础知识有些遗忘,特此以本篇文章进行一轮回顾。
本文主要针对标量三重积和向量三重积,进行特性说明和公式推导,以加深记忆和理解。
标量三重积
定义:
标量三重积是将三个向量中的某一个,与另两个向量叉积所得到的新向量,进行点积操作,这样结果就是一个标量,相当于两个向量点积。
设a、b、c是三个向量,则标量三重积可表示为:。
特性1:
假设a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,c=c1i+c2j+c3k,其中i、j、k是笛卡尔坐标系的三个轴正方向的单位向量。则有:
证明1:
向量叉乘可表示为行列式形态,对行列式进行拆解,因为i和i两个向量方向一致,所以点积为1,而i、j、k之间两两垂直,点积为0,不难得到结论。
特性2:
由行列式的性质,我们可知,当顺序不变,改变abc的位置也不会影响标量三重积的结果,如:
证明2:
以为例:
注意行列式中的正负号问题,b1的位置代数余子式是-1,b2的位置代数余子式是+1。
特性3:
标量三重积的变换式:
上述式子根据特性2变换,注意,方向相反,参考右手法则。
特性4:
标量三重积中任意两个向量相等,则标量三重积等于0。
假如a和b相等,则a叉乘b就为0,0点积任何数都为0。
表示形式:
常用括号来表示标量三重积:
几何意义:
几何上,由三个向量表示的平行六面体的体积,等于三个向量的标量三重积:
向量三重积
定义:
向量三重积是三个向量中的某一个,与另两个向量叉积所得到的新向量,进行叉积操作,这样结果还是一个向量。
设a、b、c是三个向量,则向量三重积可表示为:
特性:
对任意向量a、b、c,有:
许多人为了方便记忆该公式,用BAC-CAB(BACK-CAB,后面的出租车)来表示它,死背不如理解,接下来进行公式推导。
证明:
向量三重积得到的结果也是向量,向量有xyz三个分量,我们先分析x分量,假设,则有:
x分量相当于将i的余子式提取出来,也就是右下角的那部分,同理,M的各个分量也是如此,则公式表示为:
同理可得y和z分量:
所以,不难得出:
另类证明:
对而言,将得到b向量和c向量所在平面的法向量n,n与a叉积所得向量必处于b和c所在平面,则可表示为:
此时的a向量与其也是垂直关系,点积则有:
若要等式恒成立,又考虑到p和q是常数,则p必然等于a和c的点积,q必然等于a和b的点积的负数,则有:
以上就是本文关于标量三重积和向量三重积相关知识的说明。
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