1.零向量
加性单位元:满足y+x=y
n维向量集合的加性单位元就是n维零向量
运算法则:例如3d零向量表示为:[0,0,0]
几何解释:没有位移
2.负向量
运算法则:
每个分量都变负
数学表达:
几何解释:
向量变负,将得到一个和原来向量大小相等,方向相反的向量。
3.向量的大小(长度和模)
运算法则:
n维向量大小计算公式为
几何解释:
2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示
4.标量与向量乘法
运算法则:
几何解释:
效果是以因子|k|缩放向量的长度,例如想让向量长度增加倍,应使向量乘以2
标准化向量
运算法则:
向量除以它的大小(模)即可。
几何解释:
向量的加法和减法
运算法则:
加法
减法解释为加负向量
几何解释:
向量a+b解释为:使a的头连接b的尾,接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”
三角形法扩展到多个向量
一个点到另一个点的向量
计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的要示,可以使用三角形法则和向量减法来解释这个问题。
距离公式:
说明:等于一个点到另一个点的向量的长度。
运算法则:
先求两点构成的向量d
再计算d的模
||d||
向量点乘
运算法则:
几何解释:
点乘结果描述了两个向量的“相似”程序,点乘结果越大,两向量越相近。
点乘等于向量大小与向量加角的cos值的积
解得:
如果a,b是单位向量就可能避免上述公式中的余法运算
如果不需要夹角的确切值只需要a和b的夹角类型,可以取用点乘结果的符号,如下图所示
向量投影
我们用点乘计算投影,下图给出和几何解释
当然,如果n是单位向量,除法就不必要了
向量叉乘
运算法则:
几何解释:
叉乘得到的向量垂直与原来两个向量
图中,向量a和b在一个平面中。向量a * b 指向该平面的正上方,垂直于a和b