向量运算

简介:

1.零向量

加性单位元:满足y+x=y

n维向量集合的加性单位元就是n维零向量

运算法则:例如3d零向量表示为:[0,0,0]

几何解释:没有位移

2.负向量

运算法则:

每个分量都变负

数学表达:

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几何解释:

向量变负,将得到一个和原来向量大小相等,方向相反的向量。

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3.向量的大小(长度和模)

运算法则:

n维向量大小计算公式为

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几何解释:

2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示

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4.标量与向量乘法

运算法则:

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几何解释:

效果是以因子|k|缩放向量的长度,例如想让向量长度增加倍,应使向量乘以2

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标准化向量

运算法则:

向量除以它的大小(模)即可。

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几何解释:

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向量的加法和减法

运算法则:

加法

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减法解释为加负向量

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几何解释:

向量a+b解释为:使a的头连接b的尾,接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”

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三角形法扩展到多个向量

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一个点到另一个点的向量

计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的要示,可以使用三角形法则和向量减法来解释这个问题。

 

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距离公式:

说明:等于一个点到另一个点的向量的长度。

运算法则:

先求两点构成的向量d

 image

再计算d的模

||d||

向量点乘

运算法则:

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几何解释:

点乘结果描述了两个向量的“相似”程序,点乘结果越大,两向量越相近。

 

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点乘等于向量大小与向量加角的cos值的积

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解得:

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如果a,b是单位向量就可能避免上述公式中的余法运算

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如果不需要夹角的确切值只需要a和b的夹角类型,可以取用点乘结果的符号,如下图所示

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向量投影

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我们用点乘计算投影,下图给出和几何解释

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当然,如果n是单位向量,除法就不必要了

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向量叉乘

运算法则:

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几何解释:

叉乘得到的向量垂直与原来两个向量

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图中,向量a和b在一个平面中。向量a * b 指向该平面的正上方,垂直于a和b

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