线性代数(六)正交性

简介: 线性代数(六)正交性

一:内积、长度、正交性

1.1内积

1.定义:


2.定理:

注:从上面的性质可以简单总结出其是符合“对加法、对乘法封闭的”。


1.2长度

1.定义:

2.单位向量


3.n维空间的距离


1.3正交向量

注:补充定理

1.4总结

以上比较简单,但是有时候总是忘,可能是年纪大了,留着简单回顾吧!!!!!!!!!


二:正交集

2.1定义


2.2定理–正交基

注:因为正交基的优越性,其必然是在当前子空间的线性无关集,所以两两正交,从而对于子空间内的任一个由其表示的向量已知的时候,对于权重由于线性无关集的正交性从而比较容易求出,了解即可!!!!

2.3正交投影

注:这部分简单总结如下,一个向量往另一个向量(所在直线的所有)投影的过程。

几何解释:

注:这部分则是将投影和正交基结合起来,可以看到定理5其实就是投影的权重系数,所以一个n维空间的向量可以由其空间的n个正交基表示,这也就是线性表示!!!!!!!!!!


2.4单位正交集

注:其实就是标准正交基!!


三:正交矩阵

3.1单位正交列向量

注:此时,不是单位正交矩阵,因为不是方阵!


3.2性质

注:

具体证明参照例题,P340页自己看书吧。


3.3正交矩阵初入门

正交矩阵: 一个可逆的方阵,并且转置矩阵等于逆矩阵。—行向量组是正交集、列向量组是正交集。

当矩阵是方阵的时候,上面的定理6和定理7就非常有用了,对于定理6:此时的矩阵就是标准正交矩阵。


注: 正交矩阵在第七章节会发挥更大的作用,现在了解即可,第七章见---------------待

四:拉格姆-施密特方法

4.1定义

注:这里每个向量都是n维的,但是根据向量的个数,可以构造其不同子空间下的正交基和标准正交基~

4.2步骤

注:标准正交基则在其基础上进一步做单位向量即可,了解即可-----------------证明见参考书吧~~~


4.3例子

注:给出两个例子,有兴趣自己看看吧。


4.4QR分解


注:知道得了。。。。。。

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