本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 (原书第4版)》一书中的第2章,第2.3节,作者:(美)戴维C. 雷(David C. Lay)马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译,更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看
2.3 可逆矩阵的特征
本节复习第1章引入的大部分重要概念,并且与n个未知量n个方程的方程组,以及方阵联系起来,主要结论是定理8.
定理8 (可逆矩阵定理)
设A为矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的A,它们同时为真或同时为假.
- A是可逆矩阵.
- A等价于 单位矩阵.
- A有n个主元位置.
- 方程 仅有平凡解.
- A的各列线性无关.
- 线性变换 是一对一的.
- 对 中任意b,方程 至少有一个解.
- A的各列生成 .
- 线性变换 把 映上到 上.
- 存在矩阵C使CA=I .
- 存在 矩阵D使 AD=I.
- 是可逆矩阵.
首先,我们需要某些记号,若当命题(a)为真则(j)也真,我们称(a)
蕴涵(j),记为(a)(j). 我们将按图2-6中蕴涵的“循环”来证明这些命题的等价性,即这五个命题之一为真可推出其他命题也真,然后我们将把其他命题链接进这个循环.
证 若(a)为真,则 可作为(j)中的C,故(a)(j),其次,由2.1节23题(请参阅该习题),(j)(d),又由2.2节23题可知(d)(c). 若A是方阵且有n个主元位置,则主元必定在主对角线上,在这种情况下,A的简化阶梯形是,因此(c)(b). 同时由2.2节定理7知(b)(a). 至此完成图2-6中的证明循环.
其次,由于可作为D,(a)(k). 又由2.1节习题26知(k)(g),而由2.2节习题24有(g)(a),因此(g)和(k)被链接进这个循环. 再根据1.4节定理4和1.9节定理12(a),得到对任一矩阵来说,(g)、(h)和(i)是等价的,因此,通过(g)使(h)和(i)被链接进这个循环.
因(d)、(e)、(f)对任一矩阵A是等价的(参见1.7节及1.9节定理12(b)),而(d)在这个循环之中,所以(e)和(f)也在这个循环中. 最后,由2.2节定理6(c)有(a)(l),再根据同一个定理,将A和 互换后得到(l)(a). 见图2-7. 这就完成了定理8的证明.
由2.2节定理5,定理8中命题(g)也可写成“方程Ax=b 对任意 中的b 有唯一解”. 这命题当然也蕴涵(b),因此也蕴涵A为可逆阵.
下列事实由定理8及2.2节习题12推出.
设A和B为方阵,若AB=I ,则A和B都是可逆的,且 .
可逆矩阵定理将所有 矩阵分为两个不相交集合:可逆(非奇异)矩阵和不可逆(奇异)矩阵. 定理中每个命题给出了 可逆矩阵的一个性质. 定理中每个命题的否命题给出了 奇异矩阵的一个性质. 例如,每个 奇异矩阵不行等价于 ,没有 n个主元位置,它的各列线性相关,其他的否命题在习题中考虑.
例1 应用可逆矩阵定理来判断A是否可逆:
解
所以A有3个主元位置,根据可逆矩阵定理命题(c),A是可逆的.
可逆矩阵定理的作用在于它给出了许多重要概念的联系,例如矩阵A的列的线性无关性与形如Ax=b 的解的存在性关联起来. 但是必须强调,可逆矩阵定理仅能用于方阵. 例如,若一个4x3矩阵的列线性无关,我们不能用可逆矩阵定理断定形如 Ax=b的方程的解的存在性或不存在性.
可逆线性变换
回忆2.1节矩阵乘法对应于线性变换的复合. 当矩阵A可逆时,方程 可看作关于线性变换的一个命题,见图2-8.
线性变换 称为可逆的,若存在函数 使得
对所有 中的 , (1)
对所有 中的 , (2)
下列定理说明若这样的S存在,它是唯一的而且必是线性变换. 我们称S是T的逆,把它写成 .
定理9 设 为线性变换,A为T的标准矩阵. 则T可逆当且仅当A是可逆矩阵. 这时由 定义的线性变换S是满足(1)和(2)的唯一函数.
证 设 T是可逆的,则(2)说明T是从 映上到 的映射,因若b 属于 , ,则 ,所以每个 b属于T的值域,于是由可逆矩阵定理命题(i), A为可逆的.
反之,若A是可逆的,令 ,则S是线性变换,且显然S满足(1)和(2),例如
于是T是可逆的. S的唯一性的证明见习题38.
例2 设 是一对一线性变换,则T会如何?
解 T的标准矩阵A的列是线性无关的(依1.9节定理12),所以依可逆矩阵定理,A是可逆的,而且T把 映上到 . 同时,依定理9,T为可逆.
数值计算的注解 实际工作中,你将会遇到“接近奇异的”或者病态矩阵——一个可逆矩阵,但当它的某些元素稍微改变就变成奇异矩阵. 在这种情况下,行变换可能由于舍入误差产生少于 个主元位置. 另外,有时舍入误差也可能使奇异矩阵变成是可逆的.
某些矩阵程序对一个方阵计算它的条件数,条件数越大,矩阵越接近奇异. 单位矩阵的条件数是1,奇异矩阵的条件数为无穷大. 在极端情况下,矩阵程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵.
习题41~45说明当条件数大时,矩阵计算可能产生明显的错误.
练习题
- 确定 是否可逆.
- 设对某个矩阵 A,可逆矩阵定理命题(g)不成立. 那么形如 的方程会如何?
- 设 A,B是 矩阵,方程 有非平凡解,那么矩阵AB会如何?
习题2.3