《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第2章，第2.3节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

2.3 可逆矩阵的特征

本节复习第1章引入的大部分重要概念，并且与n个未知量n个方程的方程组，以及方阵联系起来，主要结论是定理8.
定理8 （可逆矩阵定理）
设A为矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的A，它们同时为真或同时为假.

1. A是可逆矩阵.
2. A等价于 单位矩阵.
3. A有n个主元位置.
4. 方程 仅有平凡解.
5. A的各列线性无关.
6. 线性变换 是一对一的.
7. 对 中任意b，方程 至少有一个解.
8. A的各列生成 .
9. 线性变换 把 映上到 上.
10. 存在矩阵C使CA=I .
11. 存在 矩阵D使 AD=I.
12. 是可逆矩阵.
    首先，我们需要某些记号，若当命题（a）为真则（j）也真，我们称（a）

蕴涵（j），记为（a）（j）. 我们将按图2-6中蕴涵的“循环”来证明这些命题的等价性，即这五个命题之一为真可推出其他命题也真，然后我们将把其他命题链接进这个循环.

证 若（a）为真，则 可作为（j）中的C，故（a）（j），其次，由2.1节23题（请参阅该习题），（j）（d），又由2.2节23题可知（d）（c）. 若A是方阵且有n个主元位置，则主元必定在主对角线上，在这种情况下，A的简化阶梯形是，因此（c）（b）. 同时由2.2节定理7知（b）（a）. 至此完成图2-6中的证明循环.
其次，由于可作为D，（a）（k）. 又由2.1节习题26知（k）（g），而由2.2节习题24有（g）（a），因此（g）和（k）被链接进这个循环. 再根据1.4节定理4和1.9节定理12（a），得到对任一矩阵来说，（g）、（h）和（i）是等价的，因此，通过（g）使（h）和（i）被链接进这个循环.
因（d）、（e）、（f）对任一矩阵A是等价的（参见1.7节及1.9节定理12（b）），而（d）在这个循环之中，所以（e）和（f）也在这个循环中. 最后，由2.2节定理6（c）有（a）（l），再根据同一个定理，将A和 互换后得到（l）（a）. 见图2-7. 这就完成了定理8的证明.
由2.2节定理5，定理8中命题（g）也可写成“方程Ax=b 对任意 中的b 有唯一解”. 这命题当然也蕴涵（b），因此也蕴涵A为可逆阵.

下列事实由定理8及2.2节习题12推出.
设A和B为方阵，若AB=I ，则A和B都是可逆的，且 .
可逆矩阵定理将所有 矩阵分为两个不相交集合：可逆（非奇异）矩阵和不可逆（奇异）矩阵. 定理中每个命题给出了 可逆矩阵的一个性质. 定理中每个命题的否命题给出了 奇异矩阵的一个性质. 例如，每个 奇异矩阵不行等价于 ，没有 n个主元位置，它的各列线性相关，其他的否命题在习题中考虑.
例1 应用可逆矩阵定理来判断A是否可逆：

解

所以A有3个主元位置，根据可逆矩阵定理命题（c），A是可逆的.
可逆矩阵定理的作用在于它给出了许多重要概念的联系，例如矩阵A的列的线性无关性与形如Ax=b 的解的存在性关联起来. 但是必须强调，可逆矩阵定理仅能用于方阵. 例如，若一个4x3矩阵的列线性无关，我们不能用可逆矩阵定理断定形如 Ax=b的方程的解的存在性或不存在性.
可逆线性变换
回忆2.1节矩阵乘法对应于线性变换的复合. 当矩阵A可逆时，方程 可看作关于线性变换的一个命题，见图2-8.

线性变换 称为可逆的，若存在函数 使得
对所有 中的 , （1）
对所有 中的 ， （2）
下列定理说明若这样的S存在，它是唯一的而且必是线性变换. 我们称S是T的逆，把它写成 .
定理9 设 为线性变换，A为T的标准矩阵. 则T可逆当且仅当A是可逆矩阵. 这时由 定义的线性变换S是满足（1）和（2）的唯一函数.
证 设 T是可逆的，则（2）说明T是从 映上到 的映射，因若b 属于 ， ，则 ，所以每个 b属于T的值域，于是由可逆矩阵定理命题（i）， A为可逆的.
反之，若A是可逆的，令 ，则S是线性变换，且显然S满足（1）和（2），例如

于是T是可逆的. S的唯一性的证明见习题38.
例2 设 是一对一线性变换，则T会如何？
解 T的标准矩阵A的列是线性无关的（依1.9节定理12），所以依可逆矩阵定理，A是可逆的，而且T把 映上到 . 同时，依定理9，T为可逆.
数值计算的注解 实际工作中，你将会遇到“接近奇异的”或者病态矩阵——一个可逆矩阵，但当它的某些元素稍微改变就变成奇异矩阵. 在这种情况下，行变换可能由于舍入误差产生少于 个主元位置. 另外，有时舍入误差也可能使奇异矩阵变成是可逆的.
某些矩阵程序对一个方阵计算它的条件数，条件数越大，矩阵越接近奇异. 单位矩阵的条件数是1，奇异矩阵的条件数为无穷大. 在极端情况下，矩阵程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵.
习题41~45说明当条件数大时，矩阵计算可能产生明显的错误.
练习题

1. 确定 是否可逆.
2. 设对某个矩阵 A，可逆矩阵定理命题（g）不成立. 那么形如 的方程会如何？
3. 设 A,B是 矩阵，方程 有非平凡解，那么矩阵AB会如何？
   习题2.3