离散数学笔记_第一章:逻辑和证明(2 )

简介: 离散数学笔记_第一章:逻辑和证明(2 )

1.2.1 语句翻译


🐳为啥要翻译语句?

➡因语言常常有二义性(有歧义,尤其是博大精深的汉语),把语句翻译成复合命题可以消除歧义!


把语句翻译成逻辑表达式的过程:

step①:设原子命题变量

step②:用所设的这些变量,通过逻辑联结词,表示出语句的各个部分

step③:把各个部分再通过逻辑联结词组合成最终的复合命题


1.2.2 系统规范说明


描述硬件系统和软件系统的时候,将自然语言语句翻译成逻辑表达式是很重要的一部分。系统和软件工程师根据自然语言描述的需求,生成精确而无二义的规范说明。


注意:系统规范说明应该是一致的!!!


⭐⭐⭐"一致"指的是: 存在同时为真的情况。


1.2.3 布尔搜索


逻辑联结词广泛用于海量信息如网页索引的搜索中。由于搜索采用命题逻辑的技术,因此被称为布尔搜索


布尔搜索中,联结词AND用于匹配同时包含两个搜索项的记录;OR用于匹配两个搜索项之一或者两项均匹配的记录;NOT(有时写作AND NOT),用于排除某个特定搜索项👇


1.2.4 逻辑谜题


泥巴孩子谜题

父亲让两个孩子(一个男孩和一个女孩)在后院玩耍,并让他们不要把身上搞脏。然而,在玩耍的过程中,两个孩子额头上都沾了泥。当孩子们回来后,父亲说:"你们当中至少有一个人额头上有泥。“然后要求孩子们用"是"和"否"回答问题:“你知道你额头上是否有泥吗?“父亲问了两遍同样的问题。假设每个孩子都可以看到对方的额头上是否有泥,但不能看见自己的额头,孩子们在每次被问到这个问题时将会怎样回答呢?(假设两个孩子都很诚实并且都同时回答每一次提问)

解:令 s 和 d 分别表示语句"儿子的额头上有泥"和"女儿的额头上有泥”。当父亲说:“你们当中至少有一个人额头上有泥"时,表示的是 sVd 为真。当父亲第一次问那个问题时两个孩子都将回答"否”,因为他们都看到对方的额头上有泥。也就是说,儿子知道 d 为真,但不知道 s 是否为真。而女儿知道 s 为真,但不知道 d 是否为真。

在儿子对第一次询问回答"否"后,女儿可以判断出 d 必为真。这是因为问第一次问题时,儿子知道 sVd 为真,但不能判断 s 是否为真。利用这个信息,女儿能够得出结论 d 必定为真,因为如果 d 为假,则儿子就有理由推出,由于 sVd 为真,那么 s 必定为真,因此他对第一个问题的回答应为"是”。儿子也可以类似推断出 s 必为真。因此,第二次两个孩子都将回答"是”。


骑士和流氓

一个岛上居住着两类人——骑士和流氓。骑士说的都是真话,而流氓总是说谎。现在碰到了两个人A和B,如果A说“B是骑士”,B说“我们两人不是一类人”。请判断A、B两人到底是骑士还是流氓。


解:每个人要么是骑士,要么是流氓。给出假设通过判断是否产生矛盾,来求解。

假设A是骑士(说真话),则B也是骑士,那么B也应当说真话,但B所说的与A说的矛盾→A不是骑士。


假设A是流氓(说假话),则B也是流氓,那么B也应当说谎话,可以判断出AB不矛盾,所以A和B都是流氓。


(考研逻辑题)

某项测试共有4道题,每道题给出A、B、C、D四个选项,其中只有一项是正确答案。现有张、王、赵、李4人参加了测试,他们的答题情况和测试结果如下:

答题者第一题第二题第三题第四题测试结果:

①张A B A B均不正确

②王B D B C只答对一题

③赵D A A B均不正确

④李C C B D只答对一题

I、根据以上信息,可以得出以下哪项?

A.第二题的正确答案是C

B.第二题的正确答案是D

C.第三题的正确答案是D

D.第四题的正确答案是C

E.第四题的正确答案是A

II、如果每道题的正确答案各不相同,则可以得出以下哪项?

A.第一题的正确答案是B

B.第一题的正确答案是C

C.第二题的正确答案是D

D.第二题的正确答案是A

E.第三题的正确答案是C


解:由①、③得:

B D B C只答对一题

C C B D只答对一题

Ⅰ假设第一题B对,则第二题的D、第三题的B、第四题的C错。

再根据CCBD只对一题,得:

Ⅱ假设第二题D对,则第一题的B、第三题的B、第四题的C错。再根据CCBD只对一题,得:

Ⅲ假设第三题B对,第一题的B、第二题的D、第四题的C错。

与C C B D只答对一题矛盾,故第三题B错


Ⅳ假设第四题C对,则第一题的B、第二题的D、第三题的B错。

与C C B D只答对一题矛盾,故第四题C错


最终可以得到:


答案I.E、II.A


1.2.5 逻辑电路


逻辑电路(又叫做数字电路)接受输入信号p1,p2,······,pn,每个信号1bit[或0(关)或1(开)],产生输出信号s1,s2,······,sn, 每个1bit.


一般来说,数字电路可以有多个输出,但在这一节中只讨论只有一个输出信号的数字电路。


复杂的数字电路可以从三种基本的门电路构造而来:

(网上没找着,自己在画图里画的,有些粗糙,见谅~)

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