前言

今天开始，小编就开始给大家带来数据结构的内容了，在学习数据结构的过程中可能有些知识有一点晦涩难懂，需要大家多花点时间去理解，小编也会不断尽自己的努力，不断提高文章质量，让大家更容易攻克难题，那么今天就让我们一起去了解一下时间复杂度的内容吧。

1.算法效率

一个算法的好坏，往往是由算法效率决定的。而对于算法效率我们就需要把目光聚集在算法复杂度上了。

1.1 算法复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此 衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计

算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

从算法复杂度我们了解到了时间复杂度这个名词，（空间复杂度，小编会在下一篇讲解，这里大家先了解一下），那什么又是时间复杂度呢？我们往后看，

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度概念

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

这里给大家举个例子：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

这里我们对该进行分析，进行每一次次数的累加，我们可以得到的值是

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。（计算时间复杂度实际上是计算其达到的量级）。

2.2 大O的渐进表示法

这里我们先了解一下概念

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3 实例说明

实例一

void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

这里一共有两个循环，对该两次循环次数进行累加我们可以发现该算法执行次数是：2N+10次，那么该用大O渐进表示法就O(N)。

实例二

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例二有的也是两个循环所以该执行次数是：M+N，但是由于该是由两个未知数构成地，所以该用大O渐进表示法就O(N+M)。

实例三

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

这里我们看到该程序执行了10次是一个常数，根据大O渐进表示法的规则，可以知道该由大O渐进表示法表示为O(1。

实例四

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }

}

实例四表示的是一个冒泡排序，冒泡排序相信大家都比较熟悉，而这里我们的算法加了一个exchange变量，来判断该组数据是否已经是升序排序，如果是，那内层循环就执行一遍此时的时间复杂度就是O(N)，然而这时最好的情况，在最坏的情况下，也就是外层循环执行一次内层循环就需要执行end次，按每次执行展开就是 1，2，3，4 .......n;那么最终的到的次数也就是n(n+1)/2。那么该时间复杂度就是O(N^2)。

实例五

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

这里表示的是二查找的方法，在最好的情况下我们直接就能查找到某个具体值此时的时间复杂度是O(1),最坏情况下，根据二分法的原理，我们大概能得到这样的一个运行逻辑图

这里有个小细节我需要给大家说明一下（时间复杂度中，以2为底的logN可以直接省略底数写为logN，其他底数不能简写），所以我们这里的时间复杂度就是O(logN)。

实例六

long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 return Fac(N-1)*N;
}

这里我们看到的这是一个递归，那么我们如何理解呢，这里为我们将递归进行拆解，如下：

这里我们可以看到每次执行的递归情况，我们发现N是从N到0变化的，那么也代表该执行地次数是N+1，那么该时间复杂度就是O(N)。

实例7

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这里还是一个递归，但是此处的递归和去前者不同，将其拆解得到的逻辑是：

这里我们看到该是呈指数增长的，所以这里执行的时间复杂度是:O(2^N）。

下面是一些常见的复杂度