时间复杂度与空间复杂度
- 数据结构
- 算法
- 算法效率
- 时间复杂度
- 大O的渐进表示法
- 空间复杂度
- 常见复杂度对比
数据结构
数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种一种或者多种特定关系的数据元素的集合
数据结构就是内存中对数据进行管理
算法
算法就是定义良好的计算过程，它取一个或者一组的值输入，并产生处一个或者一组作为输出，简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化为输出数据
算法效率
算法效率分为：
时间效率
空间效率
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好换，一般是从时间和空间俩个维度来衡量，即时间复杂度和空间复杂度。
- 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
- 空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间
时间复杂度
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（数学中的函数），它定量描述了该算法的运行空间。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
大O的渐进表示法
- 大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号
推导大O阶方法：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数（不是代表一次，而是代表常数次）
eg:O(1)
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶
N2+2N的时间复杂度为:O(N2)
- 大O渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示执行次数
算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏的情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）
- 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以在数组中搜索数据时间复杂度为O（N）
log以2为底的对数不好写，一般写成logN.其他底数不能简写，
例1：
//Func1的时间复杂度为O(N) void Func1(int N) { int i = 0; int count = 0; for (i = 0; i < N; i++) { ++count; } int m = 10; while (m) { --m; } printf("%d\n",count); }
例2：
//Func2的时间复杂度为O(N) void Func2(int N) { int count = 0; int i = 0; for (i = 0; i < N; i++) { ++count; } for (i = 0; i < N; i++) { ++count; } printf("%d\n",count); }
例3：
//Func3的时间复杂度为O(1) void Func3() { int count = 0; int i = 0; for (i = 0; i < 100; i++) { ++count; } printf("%d\n",count); }
例5：
// strchr的时间复杂度为O(N) const char* strchr(const char* str, int character);
例6：
// BubbleSort的时间复杂度为O(N^2) void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
例7：
// BinarySearch的时间复杂度O(logN) int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n - 1; while (begin < end) { int mid = begin + ((end - begin) >> 1); //使用右移操作符相当于除以2 if (a[mid] < x) begin = mid + 1; else if (a[mid] > x) end = mid; else return mid; } return -1; }
例8：
// 阶乘递归Fac的时间复杂度为O(N) long long Fac(size_t N) { if (0 == N) return 1; return Fac(N - 1) * N; }
例子9：
// 斐波那契递归Fib的时间复杂度为O(2^N) long long Fib(size_t N) { if (N < 3) return 1; return Fib(N - 1) + Fib(N - 2); }
空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时（额外）占用存储空间的大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，空间复杂度计算的是变量的个数，空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
- 注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些寄存信息等）在编译期间以及确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。
大部分的空间复杂度为O(1)或者O(N)
例1：
// BubbleSort的空间复杂度为O(1) void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
例2：
// Fibonacci的空间复杂度为O(N) long long* Fibonacci(size_t n) { if (n == 0) return NULL; long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2]; } return fibArray; }
例3：
// 阶乘递归Fac的空间复杂度为O(N) long long Fac(size_t N) { if (N == 0) return 1; return Fac(N - 1) * N; }
常见复杂度对比
| 函数 | 复杂度 | 说明 |
| 12345 | O(1) | 常数阶 |
| 5N+5 | O(N) | 线性阶 |
| 6N^2+7N-8 | O(N^2) | 平方阶 |
| 3log(2)N+4 | O(log4) | 对数阶 |
| 4Nlog(2)N+5N+12 | O(NlogN) | NlogN阶 |
| N3+N2 | O(N3) | 立方阶 |
| 3N | O(3N) | 指数阶 |
