1. 不同路径 I Unique Paths 1
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
之前练过，代码见：Python每日一练(20230410)_Hann Yang的博客
递归法：（不推荐，时间复杂度高）
class Solution: def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int: def backtrack(row, col): if row == 0 or col == 0: return 1 return backtrack(row-1, col) + backtrack(row, col-1) return backtrack(m-1, n-1)
用组合公式，只要一行代码：
class Solution: def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int: return __import__('math').comb(m+n-2, m-1) # %% s = Solution() print(s.uniquePaths(m = 3, n = 7)) print(s.uniquePaths(m = 3, n = 2)) print(s.uniquePaths(m = 7, n = 3)) print(s.uniquePaths(m = 3, n = 3))
输出：
28
3
28
6
2. 不同路径 II Unique Paths 2
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
提示：
m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
之前练过，代码见：Python每日一练(20230221)_Hann Yang的博客
递归法：（不推荐，时间复杂度高）
class Solution: def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int: m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0]) def backtrack(row, col): if row == m or col == n or obstacleGrid[row][col] == 1: return 0 if row == m - 1 and col == n - 1: return 1 return backtrack(row+1, col) + backtrack(row, col+1) return backtrack(0, 0) # %% s = Solution() print(s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]])) print(s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]))
输出：
2
1
3. 不同路径 III Unique Paths 3
在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：
1 表示起始方格。且只有一个起始方格。
2 表示结束方格，且只有一个结束方格。
0 表示我们可以走过的空方格。
-1 表示我们无法跨越的障碍。
返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。
每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。
示例 1：
输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)
示例 2：
输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)
示例 3：
输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。
提示：
1 <= grid.length * grid[0].length <= 20
代码： 回溯法
from typing import List class Solution: def uniquePathsIII(self, grid: List[List[int]]) -> int: m, n = len(grid), len(grid[0]) start, end = None, None empty_count = 0 # 找到起点、终点和空方格总数 for i in range(m): for j in range(n): if grid[i][j] == 0: empty_count += 1 elif grid[i][j] == 1: start = (i, j) elif grid[i][j] == 2: end = (i, j) # 记录已访问的坐标 visited = set() def backtrack(row, col, count): # 矩阵边界检查 if row < 0 or row >= m or col < 0 or col >= n: return 0 # 障碍检查 if grid[row][col] == -1: return 0 # 到达终点检查 if (row, col) == end: if count == empty_count + 1: return 1 else: return 0 # 已经经过或已经访问 if (row, col) in visited: return 0 # 标记为已经访问 visited.add((row, col)) # 向四个方向前进 paths_count = 0 paths_count += backtrack(row+1, col, count+1) paths_count += backtrack(row-1, col, count+1) paths_count += backtrack(row, col+1, count+1) paths_count += backtrack(row, col-1, count+1) # 回溯 visited.remove((row, col)) return paths_count return backtrack(start[0], start[1], 0) #%% s = Solution() grad = [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]] print(s.uniquePathsIII(grad)) grad = [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]] print(s.uniquePathsIII(grad)) grad = [[0,1],[2,0]] print(s.uniquePathsIII(grad))
输出：
2
4
0
