正文

协方差的定义

设( X , Y )是二维随机变量，若：

E [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ]存在，则称它为随机变量X 与Y 的协方差，记为c o v ( X , Y ) ，有

协方差的性质

c o v ( X , Y ) = c o v ( Y , X )

c o v ( X , X ) = D ( X )

c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y )

协方差的定义

设c o v ( X , Y ) cov(X,Y)cov(X,Y)存在，且D ( X ) , D ( Y ) 不为零，则称 随机变量X 与Y 的相关系数或标准协方差，记为ρ X Y即

由 可得，设

即 X^*,Y^*分别是X , Y 的标准化随机变量，由协方差的定义，可知

相关系数的意义

已知ρ X Y 是X , Y的相关系数，则有定理

∣ ρ X Y ∣ ⩽ 1 （ρ X Y  >0称正相关，ρ X Y<0称负相关）

∣ ρ X Y ∣ = 1 的充要条件是：存在常数a , b ，使：

P{Y=aX+b}=1

即X 与Y 以概率1存在线性关系

该定理说明了，相关系数ρ X Y  描述了随机变量X 、Y 的线性相关程度，∣ ρ X Y ∣ 越接近1，则X 与Y 之间越接近线性关系。当∣ ρ ∣ = 1 时，X 与Y 存在线性关系。特别地，如果ρ X Y = 0 则X 与Y不相关，说明X 与Y没有线性关系。

应当注意到，两个随机变量X 与之间的不相关性和相互独立型一般是不同的。

由相关系数的定义可以推导得，当X 与Y 相互独立时，必有ρ X Y = 0 ，即X 与Y 不相关，但反之则不然。

独立性是比不相关性更为严格的条件，独立性反映X与Y 之间不存在任何关系，而不相关性只是就线性关系而已的，即使X 与Y 不相关，它们之间也可能存在某种函数关系。