L4-数字特征：期望、方差、协方差、相关系数等

数字特征是指能够刻画随机变量某些方面的性质特征的量。

（1）期望（mean）

期望也就是均值，是概率加权下的“平均值”，反映的是随机变量平均取值大小。

连续型：

离散型：

期望的性质：假设C为一个常数，X和Y维两个随机变量，则

E ( C ) = C

E ( C X ) = C E ( X )

E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )

X 和Y 相互独立 ⇔ E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )

（2）方差（Variance）

方差衡量随机变量或一组数据离散程度的度量，用来度量随机变量和其期望均值之间的偏离程度。

连续型：

离散型：

根据期望的定义，

假设C为一个常数，X和Y是两个随机变量，那么方差有以下性质：

D ( C ) = 0

D ( C X ) = C ₂ D ( X )

D ( C + X ) = D ( X ) D(C+X)=D(X)D(C+X)=D(X)

常见分布的期望与方差

（3）标准差（Standard Deviation）

（4）协方差（Covariance）

协方差用于衡量两个变量的总体误差；当两个变量相同时，协方差就是方差。

协方差是两个随机变量具有相同方向变化趋势的度量：

若C o v ( X , Y ) > 0 Cov(X,Y)>0Cov(X,Y)>0，则X XX和Y YY变化趋势相同；

若C o v ( X , Y ) > 0 Cov(X,Y)>0Cov(X,Y)>0，则X XX和Y YY变化趋势相反；

若C o v ( X , Y ) = 0 Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0，则X XX和Y YY不相关。

假设C CC为一个常数，X XX和Y YY是两个随机变量，那么方差有以下性质：

C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X )

C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y )

C o v (X₁₊x₂  , Y ) = C o v ( X₁, Y ) + C o v (x_{2 ，} Y )

根据方差定义，

如果X和Y相互独立，则C o v ( X , Y ) = 0，此时D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y )

如果C o v ( X , Y ) = 0 ，则X 和Y 不相关（不能推出不独立）

协方差矩阵

n个随机向量{ X_1，x₂  ,  X ₃ , … , X n } ，任意两个元素x ^{i 和}x _j都可以得到一个协方差，从而形成一个n ∗ n 的矩阵，该矩阵称为协方差矩阵，协方差矩阵为对称矩阵。

（5）Pearson相关系数

−1≤ρ(X,Y)≤1

ρ ( X , Y ) > 0 ，则X 和Y 正相关；

ρ ( X , Y ) = 0，则X 和Y 相互独立，并且不存在相关性；

ρ ( X , Y ) < 0 ，则X 和Y负相关。

（6）原点矩与中心矩

假设X XX和Y YY是随机变量，若E ( X k ) , k = 1 , 2 , … 存在，则称它为X 的k阶原点矩，简称k 阶矩。

若E [ X − E ( X ) ] k , k = 1 , 2 , … 存在，则称它为X 的k 阶中心矩。

若E [ X − c ] k , k = 1 , 2 , … 存在，则称它为X 关于点c的k 阶矩。

若 E X ^k Y ^p , k 、 p = 1 , 2 , … 存在，则称它为X 和Y的k + p k+pk+p阶混合原点矩。

若E [ X − E ( X ) ] k [ Y − E ( Y ) ] p , k 、 p = 1 , 2 , …存在，则称它为X XX和Y YY的k + p k+pk+p阶混合中心矩。

E(X)是X 的一阶原点矩；D ( X ) 是X 的二阶中心矩；C o v ( X , Y ) 是X 和Y的二阶混合中心矩

（7）峰度（peakedness; kurtosis）

峰度又称峰态系数。表示了概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数，反映了峰部的尖度。

σ为方差。

（8）偏度（skewness）

偏度描述分布偏离对称性程度的特征数，当分布左右对称时，偏度系数为0；当偏度系数大于0时，即重尾在右侧时，该分布为右偏；当偏度系数小于0时，即重尾在左侧时，该分布为左偏。

σ为方差。