闭区间连续函数的性质+习题课（函数与极限总复习）——“高等数学”

各位CSDN的uu们你们好呀，今天我们的内容依然是关于连续函数的概念和性质及相关内容，之前的博客我们学习到了函数的连续性和函数的间断点，那今天，我们便来看看闭区间上连续函数的性质，好的，接下来就让我们进入高等数学的世界吧

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

三、函数与极限习题课

   （一）理解极限的定义

   （二）掌握数列极限、函数极限的性质

   （三）求极限的若干方法

             1.有理函数的极限

             2.有界函数*无穷小=无穷小

             3.利用左、右极限相等

             4.极限存在的准则

             5.利用两个重要极限

             6.利用等价无穷小代换（重要方法）

             7.利用初等变形

             8.利用数列极限与函数极限的关系

   （四）无穷小阶数的比较

   （五）间断点与连续性

   （六）闭区间上连续函数的性质

   （七）例题

一、有界性与最大值最小值定理

这个定理我们就不证明了，因为证明此定理需要用到非常复杂的实数理论

对于这两个函数，在其定义域内都是既没有最大值，也没有最小值

二、零点定理与介值定理

其实，这个零点定理我们在高中应该就已经学过了，我们来复习一下，究竟什么是零点呢？

可见，零点并不是一个点，而是一个数

同样，这个定理我们也不证明了，因为比较复杂，但是，从几何上是很好理解的

这是函数图像与x轴只有一个交点的情况

这是函数图像与x轴有多个交点的情况

在此定理的基础上，我们很容易推出我们接下来要介绍的一个定理，那就是——介值定理

下面，来证明一下这个介值定理

然后，我们又得出了一个推论

 

下面，让我们来看几个例题

首先，从结论出发，构造函数

三、函数与极限习题课

 1.理解极限的定义

 2.掌握数列极限、函数极限的性质

3.求极限的若干方法

这个注意事项里面，为什么要把它划为一个问号呢？因为，在有的时候，它是成立的，而有的时候，它又是不成立的。

4.无穷小阶数的比较

 5.间断点与连续性

6.闭区间上连续函数的性质

例题

所以第一个论断不正确

第二个论断也是不正确的，只能说明局部有界

所以第三个论断也是不对的

所以第四个论断也是不正确的

故，此题目正确答案选D

连加式

我们可以把这个结论推广一下

考察单调有界原理的知识点

因为这是一个正数列

有人可能会想：不是必须要求这三个极限存在才可以拆开吗？那不知道极限到底存不存在就把它拆开，这样做对吗？那么，这就是我们提及的后验问题啦，先拆开后，再看极限是否存在，如果不存在就返回反式，再来考虑别的方法，如果存在就最好不过了，继续往下做。这是一种常识。

考察无穷小比阶 

采用倒代换 

 

采用的是分子有理化的方法

 

 此函数没有水平渐近线

好啦，我们的函数与极限的总复习就到这里结束啦