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acwing算法基础课学习笔记（第一章：基础算法）

2023-02-25 296
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简介： acwing基础算法基础课学习笔记。算法包括：快速排序、归并排序、二分、高精度、前缀和与差分、双指针算法、位运算、离散化、区间合并。
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前言

所有的模板题都可以在acwing题库中搜到。

一、快速排序

思路：基于分治思想

  1. 确定分界点（随机取任意一个数为分界点，一般取中点）；
  2. 调整区间，把小于x的数移到左边，把大于x的数移到右边，把区间分为[l, j]、[j + 1, r]；
  3. 递归左右。

1. 快速排序算法模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

2. 快速排序模板题（1）：快速排序

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while(i < j)
    {
        do i ++; while(q[i] < x);
        do j --; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }

    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> q[i];

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);

    return 0;
}

3.快速排序算法模板题（2）：第k个数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N];

int quick_sort(int q[], int l, int r, int k)
{
    if(l >= r) return q[l];

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while(i < j)
    {
        do i ++; while(q[i] < x);
        do j --; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }

    if(j - l + 1 >= k) return quick_sort(q, l, j , k);
    else return quick_sort(q, j + 1, r, k - (j - l + 1));
}

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i];

    cout << quick_sort(q, 0, n - 1, k) << endl;

    return 0;
}

二、归并排序

思路：

  1. 取数组的中间数作为分界点；
  2. 将分界点左右两边分别排好序；
  3. 将左右两边进行合并。

1. 归并排序算法模板

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

2. 归并排序模板题（1）：归并排序

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N], tmp[N];

void memset_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    memset_sort(q, l, mid), memset_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l , j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++];
    while(i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++];
    while(j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++];

    for(int i = l, j = 0; i <= r; i ++ , j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i];

    memset_sort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);

    return 0;
}

3. 归并排序模板题（2）：逆序对的数量

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int q[N], tmp[N];

LL memset_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return 0;

    int mid = l + r >> 1;
    LL res = memset_sort(q, l, mid) + memset_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++];
        else
        {
            res += mid - i + 1;
            tmp[k ++ ] = q[j ++];
        }
    while(i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++];
    while(j <= r) tmp[k ++ ]= q[j ++];

    for(int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];

    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> q[i];

    cout << memset_sort(q, 0, n - 1) << endl;

    return 0;
}

三、二分

思路：
本质：可以划分为满足某种性质与不满足某种性质的两个区间，用二分法可以找到两区间边界的左右两个点。

1. 整数二分算法模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2. 整数二分算法模板题：数的范围

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i];

    while(m -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

3. 浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

4. 浮点数二分算法模板题： 数的三次方根

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;

    double l = -100, r = 100;
    while(r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}

四、高精度

1. 高精度加法模板

/ C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

2. 高精度减法模板

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

3. 高精度乘低精度模板

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

4. 高精度除以低精度算法

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

五、前缀和与差分

1. 一维前缀和模板

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

一维前缀和模板题：前缀和

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while(m -- )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

2. 二维前缀和模板

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

二维前缀和模板题：子矩阵的和

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j  = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> s[i][j];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    while(q -- )
    {
       int x1, y1, x2, y2;
       cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
       printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 -1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

3. 一维差分模板

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

一维差分模板题：差分

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) insert(i, i, a[i]);

    while(m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) b[i] += b[i - 1];


    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) printf("%d ", b[i]);

    return 0;
}

4. 二维差分模板

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

二维差分模板题：差分矩阵

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> a[i][j];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    while(q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++ ) printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

六、双指针

常见问题分类：

  1. 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
  2. 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

1. 双指针算法模板

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}

2. 双指针算法模板题（1）：最长连续不重复子序列

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int q[N], s[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i];

    int res = 0;
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
    {
        s[q[i]] ++;
        while(j < i && s[q[i]] > 1) s[q[j ++ ]] --;
        res = max(res, i - j + 1);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

3. 双指针算法模板题（2）：数组元素的目标和

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m, x;
int a[N], b[N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> x;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
    for(int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> b[i];

    for(int i = 0, j = m - 1; i < n; i ++ )
    {
        while(j >= 0 && a[i] + b[j] > x) j --;
        if(j >= 0 && a[i] + b[j] == x) cout << i << ' ' << j << endl;
    }
    return 0;
}

4. 双指针算法模板题（3）：判断子序列

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int a[N], b[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
    for(int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> b[i];

    int i = 0, j = 0;
    while(i < n && j < m)
    {
        if(a[i] == b[j]) i ++;
        j ++;
    }
    if(i == n) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

七、位运算

1. 位运算算法模板

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n，如101000得1000

2. 位运算模板题：二进制中1的个数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while(n -- )
    {
        int x, s = 0;
        cin >> x;

        for(int i = x; i; i -= i & -i) s ++;
        printf("%d ", s);
    }
    return 0;
}

八、离散化

场景：目标数据稀疏的分散在大数组空间中，大部分元素为0。
思路：

  1. 首先取操作涉及的下标，即将要存数字的下标与求和范围两端的下标，存入小数组q中;
  2. 对数组q排序;
  3. 重新创建一个大小与q相同的数组s，从数组q中找到对应大数组要存入数据的位置映射，在s相同位置存入数据（q中找映射可以用二分法）;
  4. 找大数组求和范围两端点在q中的映射位置，在数组s对应映射位置求和即可，可用前缀和.

1. 离散化算法模板

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

2. 离散化算法模板题：区间和

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N];

vector<int> alls;
vector<PII> add, query;

int find(int x)
{
   int l = 0, r = alls.size() - 1;
   while (l < r)
   {
       int mid = l + r >> 1;
       if (alls[mid] >= x) r = mid;
       else l = mid + 1;
   }
   return r + 1;
}

int main()
{
   cin >> n >> m;
   for (int i = 0; i < n; i ++ )
   {
       int x, c;
       cin >> x >> c;
       add.push_back({x, c});

       alls.push_back(x);
   }

   for (int i = 0; i < m; i ++ )
   {
       int l, r;
       cin >> l >> r;
       query.push_back({l, r});

       alls.push_back(l);
       alls.push_back(r);
   }

   // 去重
   sort(alls.begin(), alls.end());
   alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

   // 处理插入
   for (auto item : add)
   {
       int x = find(item.first);
       a[x] += item.second;
   }

   // 预处理前缀和
   for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

   // 处理询问
   for (auto item : query)
   {
       int l = find(item.first), r = find(item.second);
       cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
   }

   return 0;
}

九、区间合并

场景：离散的区间，合并相交的区间
思路：

  1. 按区间的左端点排序；
  2. 从左到右扫描，维护一个当前区间（随着遍历，若相交则区间变长）
  3. 每次遍历的区间和当前区间有三种情况分类讨论：

（1）右端点小于当前区间右端点，当前区间不变；
（2）右端点大于当前区间右端点，当前区间变长；
（3）左端点大于当前区间右端点，将该区间置为当前区间；

1. 区间合并模板

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

2. 区间合并模板题：区间合并

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    vector<PII> segs;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        segs.push_back({l, r});
    }

    merge(segs);

    cout << segs.size() << endl;

    return 0;
}

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