零钱兑换 II（LeetCode 518）

Description

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

Sample Input 1

amount = 5, coins = [1, 2, 5]

Sample Output 1

4

Sample Tips 1

有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

Sample Input 2

amount = 3, coins = [2]

Sample Output 2

0

Sample Tips 2

只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

Sample Input 3

amount = 10, coins = [10] 

Sample Output 3

1

Tips

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

算法思想：

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？

例如示例一：

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合，都是 2 2 1。

如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

   dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

   所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化

   首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

   那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。

   但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。

   这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。

   下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

   dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

4. 确定遍历顺序

   纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

   而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

   所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

   本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

   那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

   我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

   for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
       for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
           dp[j] += dp[j - coins[i]];
       }
   }

   假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

   那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

   所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

   如果把两个for交换顺序，代码如下：

   for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
       for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
           if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
       }
   }

   背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

   此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5. 推导dp数组

   输入 amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，

   dp数组状态图为：

   下标i:    0 1 2 3 4 5
   coins[0]  1 1 1 1 1 1 
   coins[1]  1 1 2 2 3 3 
   coins[2]  1 1 2 2 3 4

综上分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

Java代码代码如下：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}