尽管优化方法可以最小化深度学习中的损失函数值，但本质上优化方法达到的目标与深度学习的目标并不相同。
- 优化方法目标：训练集损失函数值
- 深度学习目标：测试集损失函数值（泛化性）
%matplotlib inline import sys sys.path.append('/home/input') import d2lzh1981 as d2l from mpl_toolkits import mplot3d # 三维画图 import numpy as np def f(x): return x * np.cos(np.pi * x) def g(x): return f(x) + 0.2 * np.cos(5 * np.pi * x) d2l.set_figsize((5, 3)) x = np.arange(0.5, 1.5, 0.01) fig_f, = d2l.plt.plot(x, f(x),label="train error") fig_g, = d2l.plt.plot(x, g(x),'--', c='purple', label="test error") fig_f.axes.annotate('empirical risk', (1.0, -1.2), (0.5, -1.1),arrowprops=dict(arrowstyle='->')) fig_g.axes.annotate('expected risk', (1.1, -1.05), (0.95, -0.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->')) d2l.plt.xlabel('x') d2l.plt.ylabel('risk') d2l.plt.legend(loc="upper right")
优化在深度学习中的挑战
- 局部最小值
- 鞍点
- 梯度消失
局部最小值
def f(x): return x * np.cos(np.pi * x) d2l.set_figsize((4.5, 2.5)) x = np.arange(-1.0, 2.0, 0.1) fig, = d2l.plt.plot(x, f(x)) fig.axes.annotate('local minimum', xy=(-0.3, -0.25), xytext=(-0.77, -1.0), arrowprops=dict(arrowstyle='->')) fig.axes.annotate('global minimum', xy=(1.1, -0.95), xytext=(0.6, 0.8), arrowprops=dict(arrowstyle='->')) d2l.plt.xlabel('x') d2l.plt.ylabel('f(x)');
鞍点
x = np.arange(-2.0, 2.0, 0.1) fig, = d2l.plt.plot(x, x**3) fig.axes.annotate('saddle point', xy=(0, -0.2), xytext=(-0.52, -5.0), arrowprops=dict(arrowstyle='->')) d2l.plt.xlabel('x') d2l.plt.ylabel('f(x)');
x, y = np.mgrid[-1: 1: 31j, -1: 1: 31j] z = x**2 - y**2 d2l.set_figsize((6, 4)) ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 2, 'cstride': 2}) ax.plot([0], [0], [0], 'ro', markersize=10) ticks = [-1, 0, 1] d2l.plt.xticks(ticks) d2l.plt.yticks(ticks) ax.set_zticks(ticks) d2l.plt.xlabel('x') d2l.plt.ylabel('y');
梯度消失
x = np.arange(-2.0, 5.0, 0.01) fig, = d2l.plt.plot(x, np.tanh(x)) d2l.plt.xlabel('x') d2l.plt.ylabel('f(x)') fig.axes.annotate('vanishing gradient', (4, 1), (2, 0.0) ,arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
凸性 （Convexity）
函数
def f(x): return 0.5 * x**2 # Convex def g(x): return np.cos(np.pi * x) # Nonconvex def h(x): return np.exp(0.5 * x) # Convex x, segment = np.arange(-2, 2, 0.01), np.array([-1.5, 1]) d2l.use_svg_display() _, axes = d2l.plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3)) for ax, func in zip(axes, [f, g, h]): ax.plot(x, func(x)) ax.plot(segment, func(segment),'--', color="purple") # d2l.plt.plot([x, segment], [func(x), func(segment)], axes=ax)
Jensen 不等式
性质
- 无局部极小值
- 与凸集的关系
- 二阶条件
无局部最小值
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-1, 1, 101), np.linspace(-1, 1, 101), indexing='ij') z = x**2 + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * y) # Plot the 3D surface d2l.set_figsize((6, 4)) ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 10, 'cstride': 10}) ax.contour(x, y, z, offset=-1) ax.set_zlim(-1, 1.5) # Adjust labels for func in [d2l.plt.xticks, d2l.plt.yticks, ax.set_zticks]: func([-1, 0, 1])
凸函数与二阶导数
def f(x): return 0.5 * x**2 x = np.arange(-2, 2, 0.01) axb, ab = np.array([-1.5, -0.5, 1]), np.array([-1.5, 1]) d2l.set_figsize((3.5, 2.5)) fig_x, = d2l.plt.plot(x, f(x)) fig_axb, = d2l.plt.plot(axb, f(axb), '-.',color="purple") fig_ab, = d2l.plt.plot(ab, f(ab),'g-.') fig_x.axes.annotate('a', (-1.5, f(-1.5)), (-1.5, 1.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->')) fig_x.axes.annotate('b', (1, f(1)), (1, 1.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->')) fig_x.axes.annotate('x', (-0.5, f(-0.5)), (-1.5, f(-0.5)),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
限制条件
参考文献
[1]《动手深度学习》李沐
[2]伯禹教育课程
