从广义线性回归推导出逻辑回归
什么是逻辑回归
逻辑回归不是一个回归的算法，逻辑回归是一个分类的算法，就比如卡巴斯基不是司机。 那为什么逻辑回归不叫逻辑分类？因为逻辑回归算法是基于多元线性回归的算法。而正因为 此，逻辑回归这个分类算法是线性的分类器。未来我们去学的基于决策树的一系列算法，基 于神经网络的算法等那些是非线性的算法。SVM 支持向量机的本质是线性的，但是也可以 通过内部的核函数升维来变成非线性的算法。
Sigmoid 作用
逻辑回归就是在多元线性回归基础上把结果缩放到 0 到 1 之间。 h (x) 越接近+1 越是 正例， h (x) 越接近 0 越是负例，根据中间 0.5 分为二类。
为什么逻辑回归要用 sigmoid 函数
什么事情，都要做到知其然，知其所以然，sigmoid 函数的数学公式推导，我们知道 二分类有个特点就是正例的概率+负例的概率=1。一个非常简单的试验是只有两个可能结 果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。为方便起见，记这两个可能的结果为 0 和 1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。如果随机变量 X 只取 0 和 1 两个值，并且相应的概率为:
则称随机变量 X 服从参数为 p 的伯努利分布（0-1 分布），若令 q=1-p，则 X 的概率 函数可写：
联系上我们的机器学习中的二分类任务，逻辑回归二分类任务中我们会把正例的 label 设置为 1，负例的 label 设置为 0，对于上面公式就是 x=0,1。
逻辑回归的损失函数推导
这里我们依然会用到最大似然估计思想，根据若干已知的 X,y（训练集） 找到一组 W 使得 X 作为已知条件下 y 发生的概率最大。 逻辑回归中既然 g(w,x)的输出含义为 P(y=1|w,x)，那么 P(y=0|w,x)=1-g(w,x)
只要让我们的 g(w,x)函数在训练集上预测正确的概率最大，g(w,x)就是最好的解。
对于每一条数据预测正确的概率，也可以把下面公式看成是上面式子的合并形式
换符号重写一下
我们假设训练样本相互独立，那么似然函数表达式为：
同样对似然函数取 log，转换为：
总结，得到了逻辑回归的表达式，下一步跟线性回归类似，构建似然函数，然后最大似然估 计，最终推导出θ的迭代更新表达式。只不过这里用的不是梯度下降，而是梯度上升，因为 这里是最大化似然函数不是最小化似然函数。通常我们一提到损失函数，往往是求最小，这 样我们就可以用梯度下降来求解。最终损失函数就是上面公式加负号的形式：
绘制损失函数
from sklearn.datasets import load_breast_cancer from sklearn.linear_model import LogisticRegression import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from sklearn.preprocessing import scale data = load_breast_cancer() X, y = scale(data['data'][:, :2]), data['target'] # 求出两个维度对应的数据在逻辑回归算法下的最优解 lr = LogisticRegression(fit_intercept=False) lr.fit(X, y) # 分别把两个维度所对应的参数W1和W2取出来 theta1 = lr.coef_[0, 0] theta2 = lr.coef_[0, 1] print(theta1, theta2) # 已知W1和W2的情况下，传进来数据的X，返回数据的y_predict def p_theta_function(features, w1, w2): z = w1*features[0] + w2*features[1] return 1 / (1 + np.exp(-z)) # 传入一份已知数据的X，y，如果已知W1和W2的情况下，计算对应这份数据的Loss损失 def loss_function(samples_features, samples_labels, w1, w2): result = 0 # 遍历数据集中的每一条样本，并且计算每条样本的损失，加到result身上得到整体的数据集损失 for features, label in zip(samples_features, samples_labels): # 这是计算一条样本的y_predict p_result = p_theta_function(features, w1, w2) loss_result = -1*label*np.log(p_result)-(1-label)*np.log(1-p_result) result += loss_result return result theta1_space = np.linspace(theta1-0.6, theta1+0.6, 50) theta2_space = np.linspace(theta2-0.6, theta2+0.6, 50) result1_ = np.array([loss_function(X, y, i, theta2) for i in theta1_space]) result2_ = np.array([loss_function(X, y, theta1, i) for i in theta2_space]) fig1 = plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.subplot(2, 2, 1) plt.plot(theta1_space, result1_) plt.subplot(2, 2, 2) plt.plot(theta2_space, result2_) plt.subplot(2, 2, 3) theta1_grid, theta2_grid = np.meshgrid(theta1_space, theta2_space) loss_grid = loss_function(X, y, theta1_grid, theta2_grid) plt.contour(theta1_grid, theta2_grid, loss_grid) plt.subplot(2, 2, 4) plt.contour(theta1_grid, theta2_grid, loss_grid, 30) fig2 = plt.figure() ax = Axes3D(fig2) ax.plot_surface(theta1_grid, theta2_grid, loss_grid) plt.show()
逻辑回归如何求解得到最优解模型
对θ求偏导
逻辑回归函数求导
回到对逻辑回归损失函数求导
实战鸢尾花分类
先来实现简单的二分类
import numpy as np from sklearn import datasets from sklearn.linear_model import LogisticRegression # 加载鸢尾花数据集 iris = datasets.load_iris() # 这里我们以鸢尾花数据的最后一个特征拿来进行预测，也可以都进行去训练模型，但是后面预测的时候也要传入相应的所有特征值 X = iris['data'][:, 3:] # 因为要做二分类，原始数据是3个种类，所有这里我们将第一二归为一类，第三类归为一类 y = (iris['target'] == 2).astype(np.int) # 导入逻辑回归模型 multi_classifier = LogisticRegression(solver='sag',max_iter=1000,multi_class='multinomial') # 训练模型 multi_classifier.fit(X, y) # 我们创建1000个样本来进行模型预测 X_new = np.linspace(0, 3, 1000).reshape(-1, 1) # 打印模型预测各个数据的概率 y_proba = multi_classifier.predict_proba(X_new) print(y_proba) # 打印模型预测的种类 y_hat = multi_classifier.predict(X_new) print(y_hat)
[[9.99894620e-01 1.05379741e-04] [9.99892853e-01 1.07146756e-04] [9.99891057e-01 1.08943398e-04] ... [5.96947025e-04 9.99403053e-01] [5.87107189e-04 9.99412893e-01] [5.77429455e-04 9.99422571e-01]]
这是模型预测是哪种类的概率，第一行表示第一条数据，第一列表示预测是第一个种类的概率，第二列表示预测是第二类种类的概率
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]
这表示的是这1000条数据对应预测出来的种类
逻辑回归如何做多分类
多分类任务
在上面，我们主要使用逻辑回归解决二分类的问题，那对于多分类的问题，也可以用逻 辑回归来解决？ 多分类问题 将邮件分为不同类别/标签：工作（y=1），朋友（y=2），家庭（y=3），爱好（y=4） 天气分类：晴天（y=1），多云天（y=2），下雨天（y=3），下雪天（y=4） 医学图示（Medical diagrams）：没生病（y=1），感冒（y=2），流感（y=3）
One-vs-all(one-vs-rest)，生成三个假的数据集
其思想就是把多分类的任务拆分成多个二分类的任务，进而用逻辑回归进行预测
处理过的数据集就是二分类问题，通过逻辑回归可能得到红线区分不同类别：
同理
使用不同的函数去预测输入 x，分别计算不同 h(x)的值，然后取其中的最大值。哪个 i 对应 的 h(x)越大，就认为属于哪个类
对鸢尾花数据集做多分类
import numpy as np from sklearn import datasets from sklearn.linear_model import LogisticRegression # 加载鸢尾花数据集 iris = datasets.load_iris() # 这里我们以鸢尾花数据的最后一个特征拿来进行预测，也可以都进行去训练模型，但是后面预测的时候也要传入相应的所有特征值 X = iris['data'][:, 3:] # 这里我们就直接对原始数据进行多分类预测 y = y = iris['target'] # 导入逻辑回归模型 multi_classifier = LogisticRegression(solver='sag',max_iter=1000,multi_class='multinomial') # 训练模型 multi_classifier.fit(X, y) # 我们创建1000个样本来进行模型预测 X_new = np.linspace(0, 3, 1000).reshape(-1, 1) # 打印模型预测各个数据的概率 y_proba = multi_classifier.predict_proba(X_new) print(y_proba) # 打印模型预测的种类 y_hat = multi_classifier.predict(X_new) print(y_hat)
[[9.67659931e-01 3.23060599e-02 3.40089121e-05] [9.67246970e-01 3.27181539e-02 3.48757477e-05] [9.66828912e-01 3.31353239e-02 3.57644824e-05] ... [2.34265543e-07 3.68448418e-03 9.96315282e-01] [2.28355838e-07 3.63890382e-03 9.96360868e-01] [2.22595088e-07 3.59388530e-03 9.96405892e-01]]
这是模型预测是哪种类的概率，第一行表示第一条数据，第一列表示预测是第一个种类的概率，第二列表示预测是第二类种类的概率，第三列表示预测是第三类的概率
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2]
这表示的是这1000条数据对应预测出来的种类
以上就是逻辑回归的使用
