核函数：RBF 是如何让线性 SVM 可以分类非线性数据的？

核函数：RBF 是如何让线性 SVM 可以分类非线性数据的？

1. 线性支持向量机

支持向量机的思想就是给定训练样本集 $D$，在样本空间中找到一个划分的超平面，例如下图：

但如果遇到某一些数据，并没有这么容易可以用一个平面分隔开，像如下的环形数据：

现实中非线性的数据还是很多数的，而解非线性问题要远比线性问题复杂得多，花费的资源也会成倍的增加，为此我们使用了核技巧（kernel trick）。

2. 核函数

如果原始空间是有限维，即属性数有限，那么一定存在一个高维特征空间使得样本可分。¹

简单地讲，就是把数据映射到一个更加高维的空间，让数据在此高维空间上的映射线性可分。文字可能不太容易懂，看图的话，我们会比较直观。

还是如上面的环形数据，利用了核函数映射后在三维空间上的分布，如下图所示：

利用 scikit-learn 计算的关于原点 (0, 0) 的 RBF（高斯）映射，结尾会附上代码。

不难看出，在这个三维空间上的点，能够简单的用一个平面就分隔开，这样就避免了解非线性问题。

2.1. 径向基函数（Radial Basis Function）

所谓径向基函数，就是某种沿径向对称的标量函数。 通常定义为空间中任一点 $x$ 到某一中心 $x_c$ 之间欧氏距离的单调函数。$x$ 越远离中心，函数的取值就越小。²

一般 RBF 核又指高斯核，其形式为：

$$ \kappa(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)=\mathrm{exp}\left(- \frac{\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j\right\|^2}{2\sigma^2}\right ) $$

其中 $\sigma \gt 0$ 为高斯核的带宽（其实意义与高斯分布的差不多），$\boldsymbol{x}_i$ 就是第 $i$ 个数据。

2.2. 计算核函数

计算核函数可以使用 sklearn 的 sklearn.metrics.pairwise.rbf_kernel 来计算：（具体的代码，可以在我的 Github 上下载，如果对你有帮助，希望可以给我个 star。）

>>> from sklearn.metrics import pairwise

>>> # draw circles data
>>> X, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)
>>> # calculate the rbf (gaussian) kernel between X and (0, 0)
>>> K = pairwise.rbf_kernel(X, np.array([[0, 0]]))
>>> print(K)
[[0.58581766]
 [0.74202632]
...
 [0.63660304]
 [0.98952965]]

利用这种变换，我们就可以用 SVM 在数据之间找到一个可以把两个类别区分开来的平面了：