《MATLAB/Simulink系统仿真超级学习手册》——2.3 MATLAB下矩阵的运算

本节书摘来自异步社区《MATLAB/Simulink系统仿真超级学习手册》一书中的第2章，第2.3节，作者：MATLAB技术联盟 , 石良臣著，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看

2.3 MATLAB下矩阵的运算

MATLAB/Simulink系统仿真超级学习手册
矩阵运算是MATLAB最重要的运算，因为MATLAB的运算大部分都建立在矩阵运算的基础之上。MATLAB有三种矩阵运算类型：矩阵的代数运算、矩阵的关系运算和矩阵的逻辑运算。其中，矩阵的代数运算应用最广泛。

根据不同的应用目的，矩阵的代数运算又包含两种重要的运算形式：按矩阵整体进行运算，按矩阵单个元素进行运算的元素群运算。

2.3.1 矩阵的代数运算
1．矩阵的算术运算
矩阵算术运算的书写格式与普通算术运算相同，包括优先顺序规则，但其乘法和除法的定义和方法与标量截然不同，读者应在矩阵的运算意义上加以理解和应用。

表2-6是MATLAB矩阵的算术运算符及其说明。

下面为两矩阵的加法、乘法、乘方运算示例，运算失败时MATLAB会提示出错。

>> A=[1,1;2,2];B=[1,1;2,2];A+B
ans =
　　 2　　 2
　　 4　　 4
>> A=[1,1;2,2;3,3];B=[1,1;2,2];A+B
Error using  + 
Matrix dimensions must agree.
>> A=[1,1;2,2];B=[1,1;2,2];A*B
ans =
　　 3　　 3
　　 6　　 6
>> A=[1,1;2,2];B=[1,1;2,2;3,3];A*B
Error using  * 
Inner matrix dimensions must agree.
>> A=[1,1;2,2];B=2;A^B
ans =
　　 3　　 3
　　 6　　 6
>> A=[1,1;2,2];B=[1,2];A^B
Error using  ^ 
Inputs must be a scalar and a square matrix.
To compute elementwise POWER, use POWER (.^) instead.

注意：

（1）若A、B两矩阵进行加、减运算，则A、B必须维数相同，否则系统提示出错；

（2）若A、B两矩阵进行乘运算，则前一矩阵的列数必须等于后一矩阵的行数（内维数相等）；

（3）若A、B两矩阵进行右除运算，则两矩阵的列数必须相等（实际上，X=B/A=B×A-1 ）；

（4）若A、B两矩阵进行左除运算，则两矩阵的行数必须相等（实际上，X=A B=A-1· B）。

2．矩阵的运算函数
MATLAB系统函数库中提供了一些常用的矩阵运算函数，熟悉这些对读者非常有用。例如，矩阵的加、减、乘、除等运算对参与运算的矩阵都有各自的矩阵维数匹配要求。

表2-7列出了部分常用的矩阵运算函数。

下面为常用矩阵运算函数的示例。

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];size(A)
ans =
　　 3　　 3
>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];length(A)
ans =
　　 3
>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];sum(A)
ans =
　　12　　15　　18
>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];max(A)
ans =
　　 7　　 8　　 9

3．矩阵的元素群运算
元素群运算，是指矩阵中的所有元素按单个元素进行运算。为了与矩阵作为整体的运算符号相区别，元素群运算约定：在矩阵运算符“*”、“/”、“”、“^”前加一个点符号“.”，以表示在做元素群运算，而非矩阵运算。元素群加、减运算的效果与矩阵加、减运算是一致的，运算符也相同。

表2-8为矩阵的元素群运算符及其说明。

下面为元素群运算的示例。

>> A=[1,2;3,4];B=[1,2;3,4];A.*B
ans =
　　 1　　 4
　　 9　　16
>> A=[1,2;3,4];B=[3,4;5,6];A.\B
ans =
　　3.0000　　2.0000
　　1.6667　　1.5000
>> A=[1,2;3,4];B=[3,4;5,6];A./B
ans =
　　0.3333　　0.5000
　　0.6000　　0.6667
>> A=[1,2;3,4];B=[3,4;5,6];A.^B
ans =
　　　　   1　　　　  16
　　　　 243　　　　4096

4．元素群的函数
MATLAB提供了几乎所有初等函数，包括三角函数、对数函数、指数函数和复数运算函数等。大部分的MATLAB函数运算都是分别作用于函数变量（矩阵）的每一个元素，这意味着这些函数的自变量可以是任意阶的矩阵。

表2-9列出了MATLAB常用初等函数名及其对应功能。

在MATLAB命令窗口中输入下面语句并按回车键确认。

>> x=[0,pi/6,pi/4,pi/3];y=tan(x)

运行结果如下：

y =
　　　　 0　　0.5774　　1.0000　　1.7321

2.3.2 矩阵的关系运算
MATLAB语言定义了各种矩阵的关系运算，表2-10列出了MATLAB的关系运算符及其意义。

在使用关系运算时，首先应保证两个矩阵的维数相等或至少一个为标量。若参与运算的对象为两个矩阵，则关系运算对两个矩阵的对应元素进行关系比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置的元素置1，否则置0。若参与运算的对象之一为标量，则关系运算将矩阵的每一个元素与该标量逐一进行关系比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置的元素置1，否则置0。

注意：关系运算比算术运算具有更高的优先权。

下面为矩阵A=[1,1;1,1]和矩阵B=[0,1;2,3]作关系比较的运算结果示例。

>> A=[1,1;1,1];B=[0,1;2,3];A>B
ans =
　　 1　　 0
　　 0　　 0
>> A=[1,1;1,1];B=[0,1;2,3];A>=B
ans =
　　 1　　 1
　　 0　　 0
>> A=[1,1;1,1];B=[0,1;2,3];A==B
ans =
　　 0　　 1
　　 0　　 0
>> A=[1,1;1,1];B=[0,1;2,3];A~=B
ans =
　　 1　　 0
　　 1　　 1

2.3.3 矩阵的逻辑运算
在逻辑运算中，所有非零元素的逻辑值为“真”，用代码“表示；值为零的元素的逻辑值为“假”，用代码“表示。

逻辑运算规则与关系运算基本一致，也是针对两个矩阵的对应元素。逻辑运算真值表与一般二值运算真值表完全一致。

表2-11为MATLAB矩阵的基本逻辑运算符号及其意义。