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题目

[NOIP2015 普及组] 求和

题目背景

NOIP2015 普及组 T3

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了$n$个格子，格子编号从$1$到$n$。每个格子上都染了一种颜色$color_i$用$[1,m]$当中的一个整数表示），并且写了一个数字$number_i$。

定义一种特殊的三元组：$(x,y,z)$，其中$x,y,z$都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

1. $xyz$是整数,$x<y<z,y-x=z-y$
2. $colorx=colorz$

满足上述条件的三元组的分数规定为$(x+z) \times (number_x+number_z)$。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以$10,007$所得的余数即可。

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数$n$和$m,n$表纸带上格子的个数，$m$表纸带上颜色的种类数。

第二行有$n$用空格隔开的正整数，第$i$数字$number$表纸带上编号为$i$格子上面写的数字。

第三行有$n$用空格隔开的正整数，第$i$数字$color$表纸带上编号为$i$格子染的颜色。

输出格式

一个整数，表示所求的纸带分数除以$10007$所得的余数。

样例 #1

样例输入 #1

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

样例输出 #1

82

样例 #2

样例输入 #2

15 4
5 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 4
2 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

样例输出 #2

1388

提示

【输入输出样例 1 说明】

纸带如题目描述中的图所示。

所有满足条件的三元组为： $(1, 3, 5), (4, 5, 6)$。

所以纸带的分数为$(1 + 5) \times (5 + 2) + (4 + 6) \times (2 + 2) = 42 + 40 = 82$。

对于第 $1$ 组至第 $2$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 5$；

对于第$3$ 组至第 $4$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 100$；

对于第 $5$ 组至第$ 6 $组数据， $1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000$，且不存在出现次数超过$ 20 $的颜色；

对 于 全 部 $10$ 组 数 据 ， $1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ color_i ≤ m,1≤number_i≤100000$

思路

这道题我们分为两种方法讲
1：20分做法：

题目==要求==中说的非常详细

1. $xyz$是整数,$x<y<z,y-x=z-y$
2. $colorx=colorz$

所以我们三层循环遍历一遍肯定能全部找到
但是看看数据范围，100000？三层循环要么我炸要么时间复杂度炸
所以这种方法只有40分

2：AC做法：

需要用到一些数学内容（童鞋们不要慌，下面有详细解说）
首先明确一下目标
1压缩压缩下标
2压缩压缩颜色
==啊对，就这俩，不多吧，下面来看具体：==
因为 $xyz$是整数,$x<y<z,y-x=z-y$
所以 $2y=x+z$
所以 $x+y无论如何都为偶数（任何数字*2都为偶数）$
我们颜色也需要压缩一下，判断颜色的奇偶
这里我们用一个==z==数组来储存当前组内有多少数字，就是说单数组复数组，也可以理解为满足要求1的组，再用一个sum来储存前缀和，这个到后面会讲到
假设当前数字下标为$i_n，当前数字的值为num_n$
所以可以总结出一个式子
$（i_1+i_2）（n_1+n_2）+（i_1+i_3）（n_1+n_3）+（i_1+i_4）（n_1+n_4）+......（i_1+i_n）（n_1+n_n）$
去括号：
$i_1*n_1+i_1*n_2+i_1*n_1+i_1*n_3...+i_1*n_n$
乱七八糟，我们提取公因式
$i_1*(n_2+....+n_n)+(n-1)*i_1*n_1$
这里1-n,因为i1不能和他自己组合，所以最后乘的是n-1.提取出所有i1和n1，其他的是不是就是一个等差数列
可是还是有些不好表示，我们再处理一下
$i_1*(n_2+...n_n)+i_1*n_1+(n-1)*i_1*n_1-i_1*n_1$
前面加后面减，结果不变，我们再次提取公因式
$i_1*(n_1+..n_1)+(n-2)*i_1*n_1$
这样子是不是就做完了，这里我们可以通过前缀和提前获取我们需要的东西，下面来看看代码

代码

==20分做法，不想看的可以跳过==

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c,num[1000001],col[100001];
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>num[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>col[i];
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=i+1;j<=n;j++){
        for(int k=j+1;k<=n;k++){
            if(j-i==k-j&&col[i]==col[k]){//三层循环处理找答案
                ans+=(i+k)*(num[i]+num[k]);
                ans%=10007;
            }
        }
    }
}
cout<<ans%10007;
}

==AC做法：==

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c,num[1000001],col[100001];//num储存所有数字，col储存颜色
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>num[i];
}
int z[101010][3];//这里储存每个组有多少数字
int sum[1010100][3];//这里储存前缀和
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>col[i];
    z[col[i]][i%2]++;//这个组的数字加1
    sum[col[i]][i%2]=(sum[col[i]][i%2]+num[i])%10007;//这个组前面所有的数字和加上当前加入的数字

}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=(ans+i*(sum[col[i]][i%2]+(z[col[i]][i%2]-2)*num[i]%10007))%10007;
//这里就是按照上面题目所说处理
}
cout<<ans%10007;
}

🏆结束语：

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