前言

本文其实值属于：程序员的数学【AIoT阶段二】 的一部分内容，本篇把这部分内容单独截取出来，方便大家的观看，本文介绍 线性代数基础，在机器学习中经常会有矩阵、向量的定义以及计算，是公式定义、推导中必不可少的一部分内容，很多基础概念的定义中都用到了向量的概念，有关线性代数，后续还会发一篇博文：程序员的数学【线性代数高级】，本文涵盖了一些计算的问题并使用代码进行了实现，安装代码运行环境见博客：最详细的Anaconda Installers 的安装【numpy，jupyter】（图+文），如果你只是想要简单的了解有关线代的内容，那么只需要学习一下博文：NumPy从入门到高级，如果你是跟着博主学习AIoT的小伙伴，建议先看博文：数据分析三剑客【AIoT阶段一（下）】（十万字博文 保姆级讲解），如果你没有P y t h o n 基础，那么还需先修博文：Python的进阶之道【AIoT阶段一（上）】（十五万字博文 保姆级讲解）

1.向量是什么

1.1 向量的定义

🚩在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有 大小 和 方向 的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

1.2 向量的表示

1.3 向量物理意义

向量的几何意义就是空间中的点，物理意义就是速度或者力这样的矢量。

向量的分量我们称之为维度，n  维向量集合的全体就构成了 n 维欧式空间，一个 n 维向量其实就是一个 n  维欧式空间的一个点。

2.行向量与列向量

🚩行向量在线性代数中，是一个 1 × n  的矩阵，即矩阵由一个含有 n 个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。

行向量示例：V=[x1,x2,...,xn]

在线性代数中，列向量是一个 n × 1 的矩阵，即矩阵由一个含有 n  个元素的列所组成。

列向量示例：

为简化书写、方便排版起见，有时会以加上转置符号 T 的行向量表示列向量。

VT=[x1,x2,...,xn]

在机器学习中说到向量一般都是指 列向量。

3.向量运算

3.1 向量加减法

🚩等于它们的分量分别相加，显然两个向量的长度得是相等的，减法我们在这里不列举，很容易举一反三。

3.2 向量数乘

3.3 转置

3.4 向量内积

🚩两个列向量A^TB等于对应位置相乘再相加。

3.5 向量运算法则

🚩实数与向量运算法则，设λ，μ 是实数，则有：

向量内积运算法则：

4.向量的范数

🚩范数的公式是向量每个分量绝对值 P 次方 再用幂函数计算 P 分之一，这里 P 肯定是整数 1 ， 2 ， 3... 到正无穷都是可以的。向量的范数就是把向量变成一个标量，范数的表示就是两个竖线来表示，然后右下角写上 P 。

4.1 1-范数

即向量元素绝对值之和，表示 X 到零点的 曼哈顿距离，如上图：红色、蓝色、黄色的线条。

4.2 2-范数

即向量元素的平方和再开方，也叫 欧几里得范数，常用计算向量长度，表示 X 到零点的欧式距离，如上图绿色的线条

4.3 P-范数

4.4 ∞ -范数

当 P 趋向于正无穷时，即所有向量元素绝对值中的最大值。表示 切比雪夫距离。

国际象棋棋盘上两个位置间的切比雪夫距离是指王要从一个位子移至另一个位子需要走的步数。由于王可以往斜前或斜后方向移动一格，因此可以较有效率的到达目的的格子。

4.5 − ∞ -范数

当 P 趋向于负无穷时，即所有向量元素绝对值中的最小值。