程序员的数学【线性代数高级】（一）

2022-09-03 147

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简介： 本文其实值属于：程序员的数学【AIoT阶段二】的一部分内容，本篇把这部分内容单独截取出来，方便大家的观看，本文介绍线性代数高级

前言

本文其实值属于：程序员的数学【AIoT阶段二】 的一部分内容，本篇把这部分内容单独截取出来，方便大家的观看，本文介绍 线性代数高级，读之前建议先看：程序员的数学【线性代数基础】，本文涵盖了一些计算的问题并使用代码进行了实现，安装代码运行环境见博客：最详细的Anaconda Installers 的安装【numpy，jupyter】（图+文），如果你只是想要简单的了解有关线代的内容，那么只需要学习一下博文：NumPy从入门到高级，如果你是跟着博主学习AIoT的小伙伴，建议先看博文：数据分析三剑客【AIoT阶段一（下）】（十万字博文保姆级讲解），如果你没有Python基础，那么还需先修博文：Python的进阶之道【AIoT阶段一（上）】（十五万字博文保姆级讲解）

一、特征值和特征向量

1.1 概念定义

🚩两个向量相乘效果图如下：

看图，这张图片竖直方向进行偏移，形象说明了向量相乘效果：

import numpy as np
A = np.random.randint(1, 10, size = (4, 4))
display(A)
print('------------------------')
if np.linalg.matrix_rank(A) == 4: # 必须是满秩矩阵
    # 实对称矩阵特征值为实数,非对称矩阵和复矩阵特征值可能为复数
    w, v = np.linalg.eig(A) # 返回特征值和特征向量
    display(w, v)
    w = np.real(w)
    v = np.real(v)
    print('------------------------')
    display(A.dot(v[:, 0]))
    display(w[0] * v[:, 0])

实对称矩阵，求解特征值和特征向量为实数

# 实对称矩阵
import numpy as np
B = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 8],
              [3, 8, 9]])
np.linalg.eig(B)

矩阵的秩: 用初等行变换将矩阵 A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为 r ( A ) 。

经过初等变换可知这个方程无解。

import numpy as np
X = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 2]])
y = np.array([1, 2, 3])
# 查看矩阵秩，输出结果为2
print('矩阵X的秩为：',np.linalg.matrix_rank(X))
# 尝试求解报错，说明方程没有唯一解 
np.linalg.solve(X,y)

1.2 满秩矩阵

🚩满秩矩阵（non-singular matrix）: 设A 是 n 阶矩阵, 若 r ( A ) = n , 则称 A 为 满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

根据初等行变换，可得：

1.3 方程的解

import numpy as np
X = np.array([[0, 2, -1],
              [1, -1, 1],
              [2, 1, -1]])
y = np.array([1, 0, -2])
# 查看矩阵秩
print('矩阵X的秩为：',np.linalg.matrix_rank(X))
# 尝试求解报错，说明方程没有唯一解 
np.linalg.solve(X,y).round(2)

1.4 特征值和特征向量示例

🚩所有特征值的乘积等于 A 的行列式的：

import numpy as np
X = np.array([[2, 3, 7],
              [1, 5, 8],
              [0, 4, 9]])
# w表示特征值，v表示特征向量
w,v = np.linalg.eig(X)
print('矩阵X的行列式：',np.linalg.det(X))
print('特征值累乘值：',np.round(np.real(np.prod(w))))