11.9 AdaDelta

除了RMSProp算法以外，另一个常用优化算法AdaDelta算法也针对AdaGrad算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 [1]。有意思的是，AdaDelta算法没有学习率这一超参数。

Algorithm

AdaDelta算法也像RMSProp算法一样，使用了小批量随机梯度 按元素平方的指数加权移动平均变量 。在时间步0，它的所有元素被初始化为0。给定超参数 ，同RMSProp算法一样计算

与RMSProp算法不同的是，AdaDelta算法还维护一个额外的状态变量 ，其元素同样在时间步0时被初始化为0。我们使用 来计算自变量的变化量：

其中 是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 。接着更新自变量：

最后，我们使用 来记录自变量变化量 按元素平方的指数加权移动平均：

可以看到，如不考虑 的影响，AdaDelta算法与RMSProp算法的不同之处在于使用 来替代超参数 。

Implement

AdaDelta算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即 和 。我们按AdaDelta算法中的公式实现该算法。

def init_adadelta_states():
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))
def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)
        g =  p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))
        p.data -= g
        delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g

d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)

loss: 0.243485, 0.084914 sec per epoch

Pytorch Class

通过名称为“adadelta”的Trainer实例，我们便可使用pytorch提供的AdaDelta算法。它的超参数可以通过rho来指定。

d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)

loss: 0.267756, 0.061329 sec per epoch

11.10 Adam

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

Algorithm

Adam算法使用了动量变量 和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 ，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数 （算法作者建议设为0.9），时间步 的动量变量 即小批量随机梯度 的指数加权移动平均：

和RMSProp算法中一样，给定超参数 （算法作者建议设为0.999），

将小批量随机梯度按元素平方后的项 做指数加权移动平均得到 ：

由于我们将 和 中的元素都初始化为0，

在时间步 我们得到 。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 。需要注意的是，当 较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当 时， 。为了消除这样的影响，对于任意时间步 ，我们可以将 再除以 ，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量 和 均作偏差修正：

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量 和 ，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

其中 是学习率， 是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 迭代自变量：

Implement

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步 通过hyperparams参数传入adam函数。

%matplotlib inline
import torch
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input") 
import d2lzh1981 as d2l
def get_data_ch7():  
    data = np.genfromtxt('/home/kesci/input/airfoil4755/airfoil_self_noise.dat', delimiter='\t')
    data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)
    return torch.tensor(data[:1500, :-1], dtype=torch.float32), \
        torch.tensor(data[:1500, -1], dtype=torch.float32)
features, labels = get_data_ch7()
def init_adam_states():
    v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))
def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)

loss: 0.242722, 0.089254 sec per epoch

Pytorch Class

d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)

loss: 0.242389, 0.073228 sec per epoch