凸优化理论基础1--仿射集

简介: 凸优化理论基础1--仿射集

凸优化理论基础1——仿射集

最近上的数学课着实让人头大,课上听不懂,只能下课慢慢的消化知识🥗🥗🥗凸优化可以说是直接当头一棒,第一节就完全跟不上节奏,甚至于一些基本的概念都理解不了,这样雪球越滚越大,这门课就算是荒废了🍋🍋🍋


若是你和我有一样的尴尬处境,那么这篇文章或许能帮助到你。这一节我打算从一些基础的概念讲起,只有先对这些概率了如指掌,后面才能学的自在✈✈✈现在就让我们一起来看看叭🎨🎨🎨


直线和线段

  大家先别喷⛲⛲⛲有人想,我堂堂一位受过高等教育的大学生,你竟然给我讲直线和线段,这不是侮辱还是侮辱啊😭😭😭我们之前学过的直线大多是形如y=kx+b的形式,那么这里我们定义直线的表达式如下:

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仿射集

  • 定义

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  • 仿射集例子

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仿射组合

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  证明了仿射集C中的三个点的仿射组合仍然在C中,那么就可进一步证明仿射集中包含任意点的仿射组合仍在仿射集中。🍅🍅🍅


仿射集的子空间

image.png

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  此外,仿射集的子空间关于加法和数乘是封闭的,即指子空间V中的点经过加法和数乘运算后仍然属于子空间V,证明如下:

dbd2540e6e3377dc65d36f72cdd49e1b.png

子空间相当于是基X0做了一个平移,使之必过原点,子空间是仿射集。具体可参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1Xi4y1b7eF/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.-1

讲了这么多,我们先来看一个例题进行巩固,如下:

31290f594d3ebea3f1451e2bdbe88096.png

仿射包

  这个我不想再给出定义了,估计大家也都看烦了,那什么是仿射包呢?其实很容易理解,仿射包就是包含集和C的最小的仿射集。 这里我举几个例子大家可能就明白了🍜🍜🍜

  • 集合C为2点,那么仿射包就是过这两点的直线🌱
  • 集合C为3点,那么仿射包就是包括这三点的全平面🌱
  • 集合C为4点,那么仿射包就是包括这四点的全空间🌱
  • 仿射集的仿射包是它自身🌱

 

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