凸优化理论基础3——超平面和半空间

  之前我们已经介绍了仿射集、凸集、凸锥等概念，这节将来介绍超平面和半空间。🌵🌵🌵

超平面

定义： 超平面是具有下面形式的集合

上述定义还可以表示成以下形式：

 其中X0是超平面上的任意一点。不清楚观此视频🍜🍜🍜这里来看看超平面的几何解释，如下：

半空间

超平面和半空间是凸集

 首先直接给出以下结论：

• 超平面是仿射集
• 超平面是凸集
• 半空间不是仿射集
• 半空间是凸集

这里我想来证明证明超平面是凸集和半空间是凸集这两个结论【证明凸集及后面证明凸函数比较重要】

1. 证明超平面是凸集
2. 证明半空间是凸集

球和椭球

椭球也是凸集，其定义如下：

其中P是对称正定矩阵。

关于此部分视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1xp4y1C7z1/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

范数球和范数锥

关于此部分视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1oA411t7L4/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

多面体

  多面体被定义为有限个线性等式和不等式的解集，如下：

单纯形

 下面给出一些常见的单纯形：

• 一维单纯形是一条线段
• 二维单纯形是一个三角形
• 三维单纯形是一个四面体

半正定锥

此部分参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Gt4y127oW/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁