1 EM算法简介
最大期望算法(Expectation Maximization Algorithm,又译期望最大化算法),是一种迭代算法,用于含有隐变量(hidden variable)的概率参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计。
在统计计算中,最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类(Data Clustering)领域。
未观测变量的学名是“隐变量”(latent variable)。EM算法是常用的估计参数隐变量的利器,它是一种迭代式的方法,其基本思想是:若参数θ已知,则可根据训练数据推断出最优隐变量Z的值(E步);反之,若Z的值已知,则可以方便地对参数θ做极大似然估计(M步)。
于是,以初始值θ0为起点,可迭代执行以下步骤直至收敛:
- 基于θt推断隐变量Z的期望,记为Zt;
- 基于已观测变量X和Zt对参数θ做极大似然估计,记为θt+1
2 抛硬币例子
我们现在考虑两个抛硬币的例子:
"给定两个硬币A和B,随机抛掷后正面朝上概率分别记为 p'和'q'。每次随机选择一个硬币并投掷。有以下观察序列:H A H A T B T A T B H B H B T A H B H A T A T A H A H B H A T B,从给定数据估计出'p'和'q'的值"。
我们很容易计算出p:
相似地可以计算出q:
这很容易,因为计算未知参数所需的所有信息都是可获得的。但是,如果硬币上的标签(A和B)被隐藏起来,不知道每次投掷哪个硬币。鉴于A和B硬币同样可能被选中,那我们如何估计未知参数'p'和'q'?
我们将尝试通过多次迭代计算来解决问题。在每次迭代中,我们有两个步骤,'E'步骤和'M'步骤。
“E”步骤(期望):
- 首先初始化p和q的值(初始猜测)。
- 我们不是说掷硬币来自特定的硬币,而是说它以概率为'x'来自硬币A,来自硬币B概率'1-x'。
- 计算每枚硬币的正反面期望数量。
“M”步骤(最大化):
- 从“E”步骤计算步骤3中每个硬币的正反面期望的对数似然,类似于MLE计算。
- 最大似然估计出隐变量,并重新估计p和q的新值
- 使用新的p和q值重复“E”步骤,直到它收敛为止。
让我们举一个例子,其中进行了5次实验并且在每次实验中进行了10次抛掷。(使用两个硬币)。
我们从对未知参数进行初始化猜测,假设p = 0.6和q = 0.5。让我们进行第一轮实验。将此观察序列称为'S',我们想要估计观察'S'来自硬币A的可能性是多少,即P(A | S)。回想贝叶斯定理:
P(A)是选择硬币A的概率,它是0.5(因此是P(B)),因为我们知道每个硬币具有相同的被选择的概率。P(S|A)是观察的概率,因为它来自硬币A,即使用二项分布,我们推断它是:
同样地有,
P(S)是观察序列的概率。由于观察可以来自硬币A或硬币B或两者,因此:
然后可以得到:
将初始猜测的值代入p = 0.6和q = 0.5,得到P(A | S)= 0.45,因此P(B | S)= 1-P(A | S)= 0.55。
因此,给定观察序列S,它来自硬币A的概率是0.45并且来自硬币B的概率是0.55。因此,来自硬币A正面期望数量 = 5 * 0.45并且反面期望数量= 5 * 0.45,类似地,来自硬币B的正面的期望数量= 5 * 0.55并且反面期望数量= 5 * 0.55。对其他四个实验重复相同的期望(E)步骤,我们得到硬币A 正面期望总数= 21.3和反面期望总数= 8.6,类似于硬币B,正面期望总数= 11.7,反面期望总数= 8.4
因此,对未知参数p和q的新估计是:
和
上一步是“M”步骤或最大化步骤。我们重复上述EM步骤,直到'p'和'q'的值收敛。在这个例子中,'p'和'q'的值在大约10步中收敛到最终值p = 0.8和q = 0.52。
以上是EM算法应用的一个非常简单的例子。它用于表明给定具有缺失数据(含有隐变量)的参数估计问题,EM算法可以通过生成对丢失数据的可能猜测来迭代地解决该问题,然后通过使用这些猜测来最大化观察的可能性。除了简单的投掷硬币示例之外,EM已成功用于训练隐藏状态的HMM,EM也用于 聚类应用 和 半监督学习
3 EM算法推导
上面是EM算法的一个简单感性的例子,下面我们看看如何用数学推导EM算法。在引入EM算法之前,我们先了解一些基础知识。
3.1 凸函数(Convex Functions)
定义1 假设f是在区间I = [a, b]的一个实数函数,当满足以下条件时,可以说f在区间是凸函数,
此时,∀x1, x2 ∈ I, λ ∈ [0, 1]
定义2 如果-f是凸函数,那么f是凹函数.
定理1 如果f(x)在区间[a,b]上二阶可导,并且f''(x) ≥0,那么f(x)在[a,b]上是凸函数
证明
结论1 在(0, ∞),-ln(x)为凸函数,ln(x)为凹函数
证明
3.2 Jensen’s 不等式
在区间I上,f是一个凸函数,有x1, x2, . . . , xn∈I,λ1, λ2, . . . , λn ≥ 0,
并且
那么有
证明
因为ln(x)为凹函数,那么有
结论2 Jensen's不等式同时也证明了算数平均要大于等于几何平均
证明
3.3 EM推导
假设X是一个随机样本集,用来估计θ,我们希望找到一个θ使得P(X|θ) 最大,这就是称作为θ的最大似然估计。为了估计θ,通常是需要引入对数似然函数,定义为如下:
这个似然函数可以看作为给定样本集X上的关于θ的函数。因为ln(x)是一个严格单调递增函数,所以使P(X|θ)达到最大也会使L(θ)最大化。
EM算法是一个最大化L(θ)(或者说是极大似然估计)的迭代过程。假设在经过nth迭代之后,由θn得到当前估计θ,那么我们的目标是最大化L(θ),所以我们希望更新后的θ满足如下:
相应地,我们就是想最大化下面的差值:
EM算法是常用的估计参数隐变量的利器。到目前为止,我们还没有考虑任何不能观察到的变量或者缺失变量,对于上述情况,由于存在隐含变量,不能直接最大化l(θ),所以只能不断地建立l的下界(E-step),再优化下界(M-step),依次迭代,直至算法收敛到局部最优解。这就是EM算法的核心思想,简单的归纳一下:
EM算法通过引入隐含变量,使用MLE(极大似然估计)进行迭代求解参数。通常引入隐含变量后会有两个参数,EM算法首先会固定其中的第一个参数,然后使用MLE计算第二个变量值;接着通过固定第二个变量,再使用MLE估测第一个变量值,依次迭代,直至收敛到局部最优解。
E-Step和M-Step:
- E-Step:通过observed data和现有模型估计参数估计值 missing data;
- M-Step:假设missing data已知的情况下,最大化似然函数。
现在我们引入隐含变量的集合为Z,具体值记为z,那么P(X|θ) 可以写成:
带入之前的差值公式可以得到:
我们这里引入Jensen's不等式,
继续推导之前的公式:
从式子(12)到式子(13)我们用到了:
所以有:
为了方便,做如下变换:
我们有如下函数图像:
可以推导出:
我们发现l(θn|θn)始终在L(θ)之下,并且在θ时会相等,因此假如一个θ使得l(θn|θn)变大,那么L(θ)也会变大,所以求解转化为如下: