6.4 二叉树的定义
二叉树( Binary Tree) 是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的叉树组成。
看一个不是二叉树的情况
D结点不满足二叉树，因为它有三个子树
6.4.1 二叉树特点
1.每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在大于2的结点。不是只有两颗子树，而是最多有。没有子树或者一颗子树的也是可以的！
2.左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
3.即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树
二叉树具有五种基本形态:
1.空二叉树。
2.只有一个根结点。
3.根结点只有左子树。
4.根结点只有右子树。
5.根结点既有左子树又有右子树。
5个结点的树有5中二叉树的形态
6.4.2 特殊二叉树
1.斜树
顾名思义，斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树
上面的树2就是左斜树，树5就是右斜树
其实线性表结构就可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式
2.满二叉树
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全
理想是完美的，不完美才是人生
完美的二叉树就叫满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
(1)叶子只能出现在最下一-层。出现在其他层就不可能达成平衡。
(2)非叶子结点的度一-定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。
(3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
3.完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i (1≤i≤n)的结点与同
样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树
只能最后一层右边缺，其他地方缺都必须是连续的，不连续就不是完全二叉树
如下图所示
完全二叉树的特点：
1.叶子结点只能出现在最下两层
2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置
3.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
4.如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
5.同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
(1)叶子只能出现在最下一-层。出现在其他层就不可能达成平衡。
(2)非叶子结点的度一-定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。
(3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
3.完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i (1≤i≤n)的结点与同
样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树
只能最后一层右边缺，其他地方缺都必须是连续的，不连续就不是完全二叉树
如下图所示
完全二叉树的特点：
1.叶子结点只能出现在最下两层
2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置
3.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
4.如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
5.同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小
6.5 二叉树的性质
6.5.1二叉树性质
性质1:在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个结点(i≥1)。(带入即可理解)
性质2:深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点(k>1)。
如果有一层，至多有1 = 2 的 0次方 - 1 个结点
如果有二层，至多有1 + 2 = 3 = 2 的平方 - 1 个结点
…
性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为No,度为2的结点数为n2,则No = N2 + 1
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1 (Lx]表示不大于x的最大整数)。
这个其实就是性质二的倒数，反过来求k的值的
性质5:如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为log2n]+1) 的结点按层序编号(从第1层到第log2n]+1层，每层从左到右)，对任一结点i (1≤i≤n)
有:
1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲;如果i>1,则其双亲是结点li/2」。
2.如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子是结点2i。
3.如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1。
如下图
对于第一条来说是很显然的，i=1 时就是根结点。i>1 时，比如结点7,它的双亲就是l7/2]=3,结点9,它的双亲就是[9/2]=4
第二条，比如结点6,因为2X6=12超过了结点总数10,所以结点6无左孩子，它是叶子结点。同样，而结点5,因为2X5=10正好是结点总数10,所以它的左孩子是结点10
第三条，比如结点5,因为2X5+1=11,大于结点总数10,所以它无右孩子。而结点3，因为2X3+1=7小于10,所以它的右孩子是结点7
6.6 二叉树的存储结构
6.6.1二叉树的顺序存储
如果有一颗深度为k的右斜树，它有k个结点，却要分配2的k次方减1个存储单元，他会很浪费如下图，所以顺序存储结构一般用于完全二叉树
6.6.2 二叉链表
既然顺序存储适用性不强，我们就要考虑链式存储结构。二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表
结构如图所示：
代码实现如下：
/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/ typedef struct BiTNode /* 结点结构*/ { TElemType data; /*结点数据*/ struct BiTNode *1child, *rchild; /*左右孩子指针*/ } BiTNode, *BiTree;
结构下图：
如果有需要，还可以增加一个指向其双亲的指针域，那样就称之为三叉链表，很灵活要学会自己变通~~~~
6.7遍历二叉树
6.7.1 二叉树遍历原理
二叉树的遍历( traversing binary tree )是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
访问和次序是关键！
6.7.2二叉树的遍历方法
1.前序遍历
规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为: ABDGHCEIF。
2.中序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则**从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。**如图所示、谝历的顺序为: GDHBAEICF。
3.后序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则**从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。**如图所示，遍历的顺序为: GHDBIEFCA.
4.层序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层， 也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。如图所示，遍历的顺序为: ABCDEFGHI。
6.7.3前序遍历算法
二叉树的定义是递归的方式，所以实现算法也可以递归
/*二叉树的前序遍历递归算法*/ void PreOrderTraverse ( BiTree T ) { if( T==NULL) return; printf ( "&c",T->data) ;/*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/ PreOrderTraverse (T->lchild) ; /*先序遍历左子树*/ PreOrderTraverse (T->rchild) ; /*最后先序遍历右子树*/ }
可以简单的看个例子
一颗这样的二叉树T，如果要遍历它的话
1.调用PreOrderTraverse (T), T根结点不为null, 所以执行printf, 打印字母A
2.调用PreOrderTraverse (T->lchild) ;访问了A结点的左孩子，不为null,执行
printf显示字母B
3.不断的递归调用PreOrderTraverse (T->lchild)到H，此时为H结点无左孩子，所以T==null, 返回此函数，此时递归调用PreOrderTraverse (T->rchild) ;访问了H结点的右孩子，printf 显示字母K,
后面的话会不断的向前向左向右遍历
6.7.4中序遍历算法
/*二叉树的前序遍历递归算法*/ void PreOrderTraverse ( BiTree T ) { if( T==NULL) return; InOrderTraverse (T->lchild) ; /*中遍历左子树*/ printf ( "&c",T->data) ;/*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/ InOrderTraverse (T->rchild) ; /*最后中序遍历右子树*/ }
流传和上类似，都是不断的递归
6.7.5后序遍历算法
/*二叉树的前序遍历递归算法*/ void PreOrderTraverse ( BiTree T ) { if( T==NULL) return; InOrderTraverse (T->lchild) ; /*中遍历左子树*/ InOrderTraverse (T->rchild) ; /*最后中序遍历右子树*/ printf ( "&c",T->data) ;/*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/ }
6.7.6推导遍历结果
已知一棵二叉树的前序遍历序列为ABCDEF,中序遍历序列为CBAEDF，请问这棵二叉树的后序遍历结果是多少?（已知前中求后）
前序遍历是先打印在递归左跟右，所以前序遍历序列为ABCDEF，A就位根结点的数据。再由中序遍历序列CBAEDF可以CB是A的左子树，EDF是A的右子树
然后我们看前序中的C和B,它的顺序是ABCDEF,是先打印B后打印C,所以B应该是A的左孩子，而C就只能是B的孩子,此时是左还是右孩子还不确定。再看中序序列是CBAEDF, C是在B的前面打印，这就说明C是B的左孩子，否则就是右孩子了
再看前序中的E、D、F,它的顺序是ABCDEF,那就意味着D是A结点的右孩子，E和F是D的子孙，注意，它们中有一个不一定是孩子，还有可能是孙子的。再来看中序序列是CBAEDF，由于E在D的左侧，而F在右侧，所以可以确定E是D的左孩子，F是D的右孩子。因此最终得到的二叉树
得到了二叉树，结果就是CBDEFDA
为刚才判断了A结点是根结点，那么它在后序序列中，一定是最后一个。刚才推导出C是B的左孩子，而B是A的左孩子，那就意味着后序序列的前两位一定是CB。同样的办法也可以得到EFD这样的后序顺序，最终就自然的得到CBEFDA这样的序列，不用在草稿上画树状图了。
反过来**，二叉树的中序序列是ABCDEFG,后序序列是**
BDCAFGE,求前序序列。（已知中后求前）
由后序的BDCAFGE,得到E是根结点，因此前序首字母是E
于是根据中序序列分为两棵树ABCD和FG,由后序序列的BDCAFGE,知道A是E的左孩子，前序序列目前分析为EA
再由中序序列的ABCDEFG, 知道BCD是A结点的右子孙，再由后序序列的BDCAFGE知道C结点是A结点的右孩子，前序序列目前分析得到EAC。
中序序列ABCDEFG,得到B是C的左孩子，D是C的右孩子,所以前序序列目前分析结果为EACBD。
由后序序列BDCAFGE,得到G是E的右孩子，于是F就是G的孩子，细细分析，根据中序序列ABCDEFG,是可以得出F是G的左孩子。
从这里我们也得到两个二叉树遍历的性质。
已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
要注意的是，如果已知前序和后序遍历，是不能确定一颗二叉树的
6.8二叉树的建立
在内存中建立好一颗二叉树我们才能进行遍历
所以，如果我们要在内存中建立一个二叉树
我们建立一个扩展二叉树，什么是扩展二叉树，就是在给普通二叉树的每个结点的空指针引出一个虚结点，并给它赋值（#）
如图所示：
代码实现：
/*按前序输入二叉树中结点的值(一个字符)*//* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T。*/void CreateBiTree (BiTree *T ){ TElemType ch; scanf ( "%c",&ch) ; if (ch=='#') *T=NULL; else { *T= (BiTree) malloc (sizeof(BiTNode)) ; if(!*T) exit (OVERFLOW) ; (*T)->data=ch; /*生成根结点 CreateBiTree (&(*T)->1child); /*构造左子树*/ CreateBiTree (&(*T)->rchild) ; /*构造右子树*/ }}
6.9线索二叉树
6.9.1线索二叉树原理
为了解决空指针占用内存的问题，把这些空指针的位置利用起来，指向前驱和后继的，它们称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树
我们对二叉树以某种线索遍历使其变为线索二叉树的过程称作是线索化
为了更好的区分，我们这样定义结点的结构
其中:
ltag为0时指向该结点的左孩子，为1时指向该结点的前驱。
rtag为0时指向该结点的右孩子，为1时指向该结点的后继。
如下：
6.9.2线索二叉树结构实现
/*二叉树的二叉线索存储结构定义*/typedef enum {Link, Thread} PointerTag; /* Link=-0 表示指向左右孩子指针*/ /* Thread==1 表示指向前驱或后继的线索*/typedef struct BiThrNode /*二叉线索存储结点结构*/{ TElemType data; /*结点数据*/ struct BiThrNode *lchild, *rchild; /*左右孩子指针*/ PointerTag LTag; PointerTag RTag; /*左右标志*/} BiThrNode, *BiThrTree;
线索化的实质就是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索。由于前驱和后继的信息只有在遍历该二叉树时才能得到，所以线索化的过程就是在遍历的过程中修改空指针的位置
如果所用的二叉树需经常遍历或查找结点时需要某种遍历序列中的前驱和后继，那么采用线索二叉链表的存储结构就是非常不错的选择。
6.10树、森林与二叉树的转换
树的孩子兄弟法可以将一棵树用二叉链表进行存储，借助儿茶链表，树和二叉树可以相互进行转换。因此，只要我们设定一-定的规则， 用二叉树来表示树，甚至表示森林都是可以的，森林与二叉树也可以互相进行转换。
6.10.1树转换为二叉树
将树转换为二叉树的步骤如下
1.加线。在所有兄弟结点之间加一条连线。
2.去线。对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其他孩子结点之间的连线。
3.层次调整。以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的角度， 使之结构层次分明。
注意点：第一个孩子是二叉树结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子
实例如图：
其中一棵树经过三个步骤转换为一棵二叉树。图中F、G本都是树结点B的孩子，是结点E的兄弟，因此转换后，F就是二叉树结点E的右孩子，G是二叉树结点F的右孩子。
6.10.2森林转换为二叉树
森林是由若干棵树组成的，所以完全可以理解为,森林中的每一棵树都是兄弟，可以按照兄弟的处理办法来操作。步骤如下:
1.把每个树转换为二叉树。
2.第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连接起来。当所有的二叉树连接起来后就得到了由森林转换来的二叉树。
实例：
6.10.3二叉树转换为树
二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程，就是反过来做
1.加线。若某结点的左孩子结点存在，则将这个左孩子的所有右孩子结点，都与该结点用线连接起来。
2.去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。
3.层次调整。使之结构层次分明。
实例如下：
6.10.4 二叉树转换为森林
判断一棵二叉树能够转换成一棵树还是森林， 标准很简单，那就是只要看这棵二叉树的根结点有没有右孩子，有就是森林，没有就是一棵树。
1.从根结点开始,若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除，再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，则连线删除…直到所有右孩子连线都删除为止，得到分离的二叉树。
2.再将每棵分离后的二叉树转换为树即可。
实例如下：
6.10.5树与森林的遍历
树的遍历分为两种方式
1.一种是先根遍历树，即先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树。
2.另一种是后根遍历，即先依次后根遍历每棵子树，然后再访问根结点。
先根遍历为ABCDEFG
后根遍历序列为EFBCGDA
森林的遍历也分为两种方式
1.前序遍历:先访问森林中第一棵树的根结点，然后再依次先根遍历根的每棵子树，再依次用同样方式遍历除去第一棵树的剩余树构成的森林
2.后序遍历:是先访问森林中第一棵树， 后根遍历的方式遍历每棵子树，然后再访问根结点，再依次同样方式遍历除去第一棵树的剩余树构成的森林
实例
前序遍历结果为ABCDEDGHJI
后序遍历BCDAFEJHIG
