—————  第二天  —————

小灰的思路如下：

第一步，利用迪杰斯特拉算法的距离表，求出从顶点A出发，到其他各个顶点的最短距离：

第二步，继续使用迪杰斯特拉算法，求出从顶点B出发，到其他各个顶点的最短距离。

第三步，从顶点C出发，到各个顶点的最短距离。

第四步，从顶点D出发......

.......

就像这样，一直遍历到顶点G。

这个思路的时间复杂度是多少呢？

假如图中有n个顶点，如果不考虑堆优化，一次迪杰斯特拉算法的时间复杂度是O（n^2）。所以，把每一个顶点都计算一遍，总的时间复杂度是O（n^3）。

————————————

举一个栗子：

上图的顶点A和顶点C没有直接相连的边，它们之间的直接距离是无穷大。

如果以B作为“中继顶点”，此时A到C的最短路径就是A-B-C，最短距离是3+2=5。

再举一个栗子：

上图的顶点A和顶点C直接相连，距离是6。但是存在一条“迂回”路径A-B-C，距离是3+2=5<6。

所以，经过中继顶点B，从A到C的最短距离可以是5。

下面我们来看一看Floyd算法的详细步骤。

1.要实现Floyd算法，首先需要构建带权图的邻接矩阵：

在邻接矩阵当中，每一个数字代表着从某个顶点到另一个顶点的直接距离，这个距离是没有涉及到任何中继顶点的。

2.此时假定只允许以顶点A作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

B和C之间的距离原本是无穷大，此时以A为中继，距离缩短为AB距离+AC距离=

5+2=7。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点A到其他顶点的临时距离）：

3.接下来以顶点A、B作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

A和D之间的距离原本是无穷大，此时以B为中继，距离缩短为AB距离+BD距离=5+1=6。

A和E之间的距离原本是无穷大，此时以B为中继，距离缩短为AB距离+BE距离=5+6=11。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点B到其他顶点的临时距离）：

4.接下来以顶点A、B、C作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

A和F之间的距离原本是无穷大，此时以C为中继，距离缩短为AC距离+CF距离=2+8=10。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点C到其他顶点的临时距离）：

.........

.........

以此类推，我们不断引入新的中继顶点，不断刷新矩阵中的临时距离。

最终，当所有顶点都可以作为中继顶点时，我们的距离矩阵更新如下：

此时，矩阵中每一个元素，都对应着某顶点到另一个顶点的最短距离。

为什么这么说呢？让我们回顾一下动态规划的两大要素：

问题的初始状态问题的状态转移方程式

对于寻找图的所有顶点之间距离的问题，初始状态就是顶点之间的直接距离，也就是邻接矩阵。

而问题的状态转移方程式又是什么呢？

假设新引入的中继顶点是n，那么：

顶点i 到 顶点j 的新距离 = Min（顶点i 到 顶点j 的旧距离，顶点i 到 顶点n 的距离+顶点n 到 顶点j 的距离）

final
static
int
 INF 
=
Integer
.
MAX_VALUE
;
public
static
void
 floyd
(
int
[][]
 matrix
){
//循环更新矩阵的值
for
(
int
 k
=
0
;
 k
<
matrix
.
length
;
 k
++){
for
(
int
 i
=
0
;
 i
<
matrix
.
length
;
 i
++){
for
(
int
 j
=
0
;
 j
<
matrix
.
length
;
 j
++){
if
(
matrix
[
i
][
k
]
==
 INF 
||
 matrix
[
k
][
j
]
==
 INF
)
{
continue
;
}
                matrix
[
i
][
j
]
=
Math
.
min
(
matrix
[
i
][
j
],
 matrix
[
i
][
k
]
+
 matrix
[
k
][
j
]);
}
}
}
// 打印floyd最短路径的结果
System
.
out
.
printf
(
"最短路径矩阵: \n"
);
for
(
int
 i 
=
0
;
 i 
<
 matrix
.
length
;
 i
++)
{
for
(
int
 j 
=
0
;
 j 
<
 matrix
.
length
;
 j
++)
System
.
out
.
printf
(
"%3d  "
,
 matrix
[
i
][
j
]);
System
.
out
.
printf
(
"\n"
);
}
}
public
static
void
 main
(
String
[]
 args
)
{
int
[][]
 matrix 
=
{
{
0
,
5
,
2
,
 INF
,
 INF
,
 INF
,
 INF
},
{
5
,
0
,
 INF
,
1
,
6
,
 INF
,
 INF
},
{
2
,
 INF
,
0
,
6
,
 INF
,
8
,
 INF
},
{
INF
,
1
,
6
,
0
,
1
,
2
,
 INF
},
{
INF
,
6
,
 INF
,
1
,
0
,
 INF
,
7
},
{
INF
,
 INF
,
8
,
2
,
 INF
,
0
,
3
},
{
INF
,
 INF
,
 INF
,
 INF
,
7
,
3
,
0
}
};
    floyd
(
matrix
);
}