文章目录
一、指数生成函数
二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数
三、指数生成函数示例
参考博客 : 按照顺序看
【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
一、指数生成函数
多重集的 组合数 , 使用 生成函数 进行计算 ;
多重集的 排列数 , 使用 指数生成函数 进行计算 ;
序列 { a n } \{ a_n \}{a
n
} , 其通项公式是 a n a_na
n
,
{ a n } \{ a_n \}{a
n
} 的 一般生成函数是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n x^nG(x)=
n=0
∑
∞
a
n
x
n
,
{ a n } \{ a_n \}{a
n
} 的 指数生成函数是 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n n ! G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \cfrac{x^n}{n!}G
e
(x)=
n=0
∑
∞
a
n
n!
x
n
\ \ \ \, ★ ( 重点公式 )
{ a n } \{ a_n \}{a
n
} 的 指数生成函数 是在一般生成函数的基础上 除以了 n ! n!n! ;
二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数
排列数 : P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r) = \cfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=
(n−r)!
n!
, n nn 个元素中取 r rr 个元素 , 不允许重复的排列数 ;
组合数 : C ( n , r ) = n ! r ! ( n − r ) ! C(n,r) = \cfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=
r!(n−r)!
n!
, n nn 个元素中取 r rr 个元素 , 不允许重复的组合数 ;
组合数对应的生成函数 是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( m n ) x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{m}{n} x^nG(x)=
n=0
∑
∞
(
n
m
)x
n
, 收敛后是 ( 1 + x ) n (1+x)^n(1+x)
n
排列数对应的生成函数 是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P ( m , n ) x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(m, n) x^nG(x)=
n=0
∑
∞
P(m,n)x
n
, 根据 n ! C ( m , n ) = P ( m , n ) n! C(m,n) = P(m, n)n!C(m,n)=P(m,n) , 该排列数的生成函数 , 每一项都除以 n ! n!n! , 就可以得到对应的组合数的生成函数 ;
排列计数对应的指数生成函数 是 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P ( m , n ) x n n ! G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(m, n) \cfrac{x^n}{n!}G
e
(x)=
n=0
∑
∞
P(m,n)
n!
x
n
, 根据 根据 C ( m , n ) = P ( m , n ) n ! C(m,n) =\cfrac{ P(m, n)}{n!}C(m,n)=
n!
P(m,n)
, 可以得出如下结论 :
排列计数的指数生成函数 = == 组合计数的普通生成函数
三、指数生成函数示例
数列 b n = 1 b_n=1b
n
=1 , 求 { b n } \{ b_n \}{b
n
} 的指数生成函数 ;
数列是 { 1 , 1 , 1 , ⋯ } \{1, 1 ,1 , \cdots\}{1,1,1,⋯}
普通生成函数 G ( x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n G(x) = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^nG(x)=1+x+x
2
+⋯=
n=0
∑
∞
x
n
指数生成函数 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = e x G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}=e^xG
e
(x)=
n=0
∑
∞
n!
x
n
=e
x
