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一、证明指数生成函数求解多重集排列
参考博客 : 按照顺序看
【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
一、证明指数生成函数求解多重集排列
多重集 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯ , n k ⋅ a k } S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \}S={n
1
⋅a
1
,n
2
⋅a
2
,⋯,n
k
⋅a
k
}
多重集 S SS 的 r rr 排列数 组成数列 { a r } \{ a_r \}{a
r
} , 对应的指数生成函数是 :
G e ( x ) = f n 1 ( x ) f n 2 ( x ) ⋯ f n k ( x ) G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x)G
e
(x)=f
n
1
(x)f
n
2
(x)⋯f
n
k
(x) ★
其中每个生成函数项 f n i ( x ) f_{n_i}(x)f
n
i
(x) 是
f n i ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n i n i ! f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!}f
n
i
(x)=1+x+
2!
x
2
+⋯+
n
i
!
x
n
i
★
将 G e ( x ) G_e(x)G
e
(x) 展开 , 其中的 r rr 系数就是多重集的排列数 ; ★
证明上述指数生成函数用途 :
将上述 指数生成函数 展开 ,
指数生成函数项 G e ( x ) = f n 1 ( x ) f n 2 ( x ) ⋯ f n k ( x ) G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x)G
e
(x)=f
n
1
(x)f
n
2
(x)⋯f
n
k
(x) , 由 k kk 个因式相乘得到 ,
每个因式都会提供一个 x m 1 m 1 ! \cfrac{x^{m_1}}{m_1!}
m
1
!
x
m
1
成分 ,
x m 1 m 1 ! \cfrac{x^{m_1}}{m_1!}
m
1
!
x
m
1
来自第一个因式 ,
x m 2 m 2 ! \cfrac{x^{m_2}}{m_2!}
m
2
!
x
m
2
来自第二个因式 ,
⋮ \vdots⋮
x m k m k ! \cfrac{x^{m_k}}{m_k!}
m
k
!
x
m
k
来自第 k kk 个因式 ,
上述因式相乘 x m 1 m 1 ! ⋅ x m 2 m 2 ! ⋯ x m k m k ! \cfrac{x^{m_1}}{m_1!} \cdot \cfrac{x^{m_2}}{m_2!} \cdots \cfrac{x^{m_k}}{m_k!}
m
1
!
x
m
1
⋅
m
2
!
x
m
2
⋯
m
k
!
x
m
k
其中 m 1 + m 2 + ⋯ + m r = r , m_1 + m_2 + \cdots + m_r = r \ \ \ ,m
1
+m
2
+⋯+m
r
=r ,
0 ≤ m i ≤ n i , 0 \leq m_i \leq n_i \ \ ,0≤m
i
≤n
i
, i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , k i= 0,1,2, \cdots , ki=0,1,2,⋯,k
x m 1 m 1 ! ⋅ x m 2 m 2 ! ⋯ x m k m k ! \cfrac{x^{m_1}}{m_1!} \cdot \cfrac{x^{m_2}}{m_2!} \cdots \cfrac{x^{m_k}}{m_k!}
m
1
!
x
m
1
⋅
m
2
!
x
m
2
⋯
m
k
!
x
m
k
对应了指数生成函数展开后的分项 ;
x m 1 m 1 ! ⋅ x m 2 m 2 ! ⋯ x m k m k ! \ \ \ \ \cfrac{x^{m_1}}{m_1!} \cdot \cfrac{x^{m_2}}{m_2!} \cdots \cfrac{x^{m_k}}{m_k!}
m
1
!
x
m
1
⋅
m
2
!
x
m
2
⋯
m
k
!
x
m
k
= x m 1 + m 2 + ⋯ + m k m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! =\cfrac{x^{m_1 + m_2 + \cdots + m_k}}{m_1!m_2!\cdots m_k!}=
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
x
m
1
+m
2
+⋯+m
k
= x r m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! ⋅ r ! r ! =\cfrac{x^{r}}{m_1!m_2!\cdots m_k!} \cdot \cfrac{r!}{r!}=
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
x
r
⋅
r!
r!
= x r r ! ⋅ r ! m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! =\cfrac{x^{r}}{r!} \cdot \cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}=
r!
x
r
⋅
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
r!
r ! m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! \cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
r!
是多重集 r rr 个元素的全排列数
选了 r rr 个元素 , 选择的方法数是 m 1 + m 2 + ⋯ + m r = r m_1 + m_2 + \cdots + m_r = rm
1
+m
2
+⋯+m
r
=r 非负整数解个数 , 配置完成后 , 再 进行全排列 , 就可以得到 r rr 排列 ;
( 先选择 , 再进行全排列 )
a r = ∑ r ! m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! a_r = \sum\cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}a
r
=∑
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
r!
上述求和 , 每个分项都是满足 m 1 + m 2 + ⋯ + m r = r m_1 + m_2 + \cdots + m_r = rm
1
+m
2
+⋯+m
r
=r 方程的非负整数解 , 每个非负整数解都对应了多重集的 S SS 的 r rr 组合 ;
组合的全排列数是 r ! m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! \cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
r!
,
上述求和 a r = ∑ r ! m 1 ! m 2 ! ⋯ m k ! a_r = \sum\cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}a
r
=∑
m
1
!m
2
!⋯m
k
!
r!
是 针对所有满足方程的一切非负整数解进行求和 ;
