02 回归算法 - 线性回归求解 θ（最大似然估计求解）

回顾线性回归的公式：θ是系数，X是特征，h(x) 是预测值。
h(x) = θ₀ + θ₁x₁ + θ₂x₂ + … + θ_nx_n
h(x) = Σ θ_ix_i（ i=0~n ）
h(x) = θ^TX = [θ₁,θ₂,θ₃,…,θ_n] * [x₁,x₂,x₃,…,x_n]^T
最终要求是计算出θ的值，并选择最优的θ值构成算法公式，使预测值能够尽可能接近真实值。

求解线性回归的思路

线性回归主要用到两种方法：最大似然估计、最小二乘法。两种思路截然不同，但最终得到的结果是一致的。

1、最大似然估计求解

y⁽ⁱ⁾：某个样本的实际值。
θ^TX ⁽ⁱ⁾：使用公式求出的某个样本的预测值。
ε⁽ⁱ⁾ ：误差。
由于每个样本的预测值和实际值都存在一定的误差，我们获得如下公式：
y⁽ⁱ⁾= θ^TX ⁽ⁱ⁾ + ε⁽ⁱ⁾

所有样本的误差ε⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ n) 是独立同分布的，服从均值为 0，方差为某个定值的 б² 的高斯分布。

解释一下上面这个概念。

a、独立同分布（ i.i.d )

实际问题中，很多随机现象都可以看做 独立影响的综合反映，往往服从正态分布。

特征X：x₁~x_n 是独立同分布的。
每一个样本根据特征计算出的预测值和真实值之间的误差：ε¹~εⁿ 也是独立同分布的。

概率论中的一个概念，即一组数据彼此时间互不干扰，在现实环境里随机出现。

独立：比如抛硬币，每次硬币落地这一事件都是独立的，不会因为之前抛硬币的结果而改变。而如果是从一堆白球中每次取一个黑球这种事件，由于随着白球的减少下次取出黑球的概率会不断变大，则不能称每次的取球行为相互独立。

同分布：如果一组数据都是从掷6面色子的结果中获取的，则称样本同分布。如果数据中夹杂着几个掷12面色子的结果，则样本不是同分布的。

b、高斯分布

也称为正态分布，正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，记为N(μ，σ²)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

所有样本的误差ε⁽ⁱ⁾ 服从均值为0，方差为σ²: 因为我们最终得到的公式是一个相对完美的公式，所以实际值会均匀得落到公式的两侧，如下所示。所有实际值和预测值的误差均值是0，均值为0意味着误差形成的高斯分布是一个

c、中心极限定理

中心极限定理：只要x₁~x_n 是独立同分布的，那么y = x₁+x₂+…+x_n；
则y服从：均值 = n * (x₁~x_n 的均值) = nμ；方差 = n*(x₁~x_n的方差)=nσ²；

∵ 每个样本的预测值和实际值之间的误差ε(i)也是独立同分布的，所以所有误差的和 ε⁽ⁱ⁾ 满足上述的定义。

又∵ 误差的均值为0，这点在b高斯分布中已证明。(模型是最优的，所以所有的实际值必然均匀得落在预测值的上下两侧，最后误差的均值是0)

∴ 所有样本的误差ε⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ n) 是独立同分布的，服从均值为 0，方差为某个定值的 б² 的高斯分布。得证。

设： f (x | θ) 为样本 X=x¹,x²,x³,…xⁿ)的联合概率密度函数，如果观测到的X=x，则称θ的函数：L ( θ | x) = f (x | θ) 为似然函数。
即给定样本x情况下，产生参数θ的可能性 = 在给定参数θ的情况下，观测到样本x的概率。
因此： 联合概率密度的值等于似然函数的值。

如果X是离散的随机变量，似然函数 L (θ | x) = p _θ (X=x)
比较似然函数在某个参数点处的取值，
如果：p _θ1 (X=x) = L (θ₁ | x)，p _θ2 (X=x) = L (θ₂ | x)；
其中：p _θ1 (X=x) > p _θ2 (X=x) 即 L (θ₁ | x) > L (θ₂ | x)；
则：当θ = θ₁时观测到X=x的可能性大于θ = θ₂时，说明θ₁比θ₂更像是θ的真实值。

上面解释得比较偏于理论，用一个例子来进一步解释

1号背包：白球1个 黑球99个 ，显然取得黑球的概率是99%；
2号背包：白球99个 黑球1个，显然取得黑球的概率是1%；
现在我被蒙上眼睛，在某个背包中取出了一个黑球。那么问题来了，我最有可能是从哪个背包中取出黑球的？显然刚才我从1号背包中取球的概率较大。

题干中，黑白两种球取出来的概率就是参数值 θ 。观测值是黑球，对应的公式为：
p _θ1 (X=x) = L (θ₁ | x) > L (θ₂ | x) = p _θ2 (X=x) ；
p _θ1 (X=黑球) ； 背包1从中取得黑球的概率为99%；
p _θ2 (X=黑球) ； 背包2中取得黑球的概率为1%；

上述例子中的θ只有背包1和背包2两种参数，但在实际中可能会出现很多组θ：( θ₁，θ₂，θ₃，…，θ_n)

最大似然函数求解θ过程

理论知识补充完了，接下来先回到最初的式子：
y⁽ⁱ⁾= θ^TX ⁽ⁱ⁾ + ε⁽ⁱ⁾；实际值=预测值+误差；
即 ε⁽ⁱ⁾ = y⁽ⁱ⁾ - θ^TX ⁽ⁱ⁾ ①
由于误差是服从高斯分布的，高斯分布的概率密度函数：

由于 ε⁽ⁱ⁾ 均值为0，将 ε⁽ⁱ⁾ 代入公式得②：

将公式 ε⁽ⁱ⁾ = y⁽ⁱ⁾ - θ^TX ⁽ⁱ⁾ ① 代入概率密度函数②得③：

如何从②转化到③是最难理解的一步。

首先需要理解的是， ε⁽ⁱ⁾ = y⁽ⁱ⁾ - θ^TX ⁽ⁱ⁾，只有在给定了x的情况下，y才有取值的可能。

p(x；θ)，在给定了θ情况下x的取值；
p(y|x；θ)，在给定了x的情况下，还给定了某种参数θ的情况下，y的概率密度函数是多少；
由于x和θ是一个定值，所以θ^TX ⁽ⁱ⁾可以理解成才一个定值C。

接着思考随机变量 ε⁽ⁱ⁾，误差期望值(均值)是0， E(ε⁽ⁱ⁾) = 0 => E(ε⁽ⁱ⁾+C) = C

ε⁽ⁱ⁾是服从正态分布的(高斯分布)，ε⁽ⁱ⁾+C是一个服从均值为C，方差不变的正态分布。

所以：既然y⁽ⁱ⁾= θ^TX ⁽ⁱ⁾ + ε⁽ⁱ⁾；y也是服从一个均值为(均值=θ^TX ⁽ⁱ⁾,方差= ε⁽ⁱ⁾的方差)的正态分布的。但是有一个前提条件：X和θ是被给定的。

所以公式③左侧的含义：在给定了x和某种参数θ的情况下y的概率密度函数。

∵ 联合概率密度函数等于似然函数，L ( θ | x) = f (x | θ);
∴ 得出公式④

联合概率密度函数是怎么得到的？
∵ ε⁽ⁱ⁾是独立同分布的；
又∵ y⁽ⁱ⁾也是独立同分布的；
又∵ 根据概率公式： P(AB)表示A和B同时发生的概率；如果A、B相互独立 则P(AB)=P(A)*P(B);
∴ 将公式③左侧进行连乘，得到了公式④上行的右半部分；进一步展开即可得到公式④下行的结果。

到目前为止④联合概率密度函数等于似然函数是我们得出的结果，以上的叙述可以帮你很好的理解似然函数的概念。

总结几个容易混淆的概念

1、f(x|θ) 是什么？
f(x|θ) 是联合概率密度函数，是我所有样本基础上的某个事件是否发生的联合概率密度函数。

2、换个角度再解释下面这个公式：

以上的式子，是发生在单个样本情况下服从的一个正态分布。
即p(y ⁽¹⁾|x ⁽¹⁾;θ)…p(y ^(m)|x ^(m);θ) 都服从以上式子的正态分布。
所以他们的联合概率密度函数就是1~m个正太分布公式的连乘。
理论依据：y ⁽ⁱ⁾是独立同分布的。

3、L(θ|x) = f(x|θ)
即给定样本x情况下，产生参数θ的可能性 = 在给定参数θ的情况下，观测到样本x的概率。
L(θ|x) 后面统一简写为L(θ)，即最大似然函数 ，看它取得最大值时对应的参数θ是多少。

现在似然函数已经求完了，接下来我们要求L(θ) 是最大值情况下的 θ 的值。

首先考虑公式④的求导，显然不太好求。

但我们知道对于任意一个变量，对它取对数，log(x)、ln(x)，它们的单调性和x的单调性是一样的。随着x的增大，对数函数也增大，x减小，对数函数也减小。所以如果考虑求最大值，log(L( θ)) 、L(θ)它们极值点对应的自变量θ所在的位置是一样的。

根据结论推导出如下公式：

看公式的最后一行，减号左边的式子是一个常数，要取整个式子的最大值，就是求后面这部分式子的最小值。

所以现在问题转化为求如下式子最小值时θ的值：

该函数就是我们线性回归中最后需要求解的目标函数。

讲到这里又需要引入一个新的概念：损失函数（代价函数）

在机器学习中，我们希望找到一个面向整个模型的度量函数，使得这个度量函数越小越好。

本来我们求的是似然函数的最大值，现在把问题转换成了求目标函数的最小值。

损失函数：衡量的是单个观测值在当前系统下的一个损失情况。
代价函数：衡量所有样本在当前系统下的损失情况。

总结一下求解最大似然估计的步骤：

1、写出似然函数L(θ)
2、对似然函数取对数，并整理 ln L(θ)
3、求导数
4、解方程-导数为0的点(极值) ∂ ln L(θ) / ∂ θ = 0

好了，实在听不懂就算了，后文讲解一个更简单的求解θ的办法：最小二乘求解。

03 回归算法 - 线性回归求解 θ（最小二乘求解）