(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf A})=p. \eex$$
证明: 设 $$\bex g(x)=\prod_{i=1}^s (\lm-\lm_i)^{m_i},\quad h(x)=b\prod_{j=1}^t (\lm-\mu_j)^{n_j}, \eex$$ 则 $$\bex \sum_{i=1}^s m_i=p,\quad \sum_{j=1}^tn_j=q. \eex$$ 由 $(g,h)=1$ 知 $\lm_i\neq \mu_j$. 又 $$\bex f(x)=g(x)h(x)=ab\cdot \prod_{i=1}^s (\lm-\lm_i)^{m_i}\cdot\prod_{j=1}^t (\lm-\mu_j)^{n_j} \eex$$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 而有直和分解 $$\bex V=\oplus_{i=1}^s V_i\oplus \oplus_{j=1}^t W_j, \eex$$ 其中 $$\bex V_i=\sed{{\bf x}\in V;({\bf A}-\lm_i{\bf E})^{m_i}{\bf x}={\bf 0}},\quad W_j =\sed{{\bf x}\in V;({\bf A}-\mu_j{\bf E})^{n_j}{\bf x}={\bf 0}}, \eex$$ 且 $\dim V_i=m_i$, $\dim W_j=n_j$ (可用 Jordan 标准型直接证明, 自己思考下). 为证题目, 仅须证明 $$\bex \oplus_{i=1}^s V_i=\sed{h({\bf A}){\bf x}={\bf 0};{\bf x}\in V},\quad \oplus_{j=1}^t W_j=\sed{g({\bf A}){\bf x}={\bf 0};{\bf x}\in V}, \eex$$ 即知 $$\bex \rank h({\bf A})=\sum_{i=1}^s m_i=p,\quad \rank g({\bf A})=\sum_{j=1}^t n_j=q. \eex$$ 不失一般性, 仅需证明 $$\bex \oplus_{i=1}^s V_i=\sed{h({\bf A}){\bf x};{\bf x}\in V}\equiv U \eex$$ 如下: $$\beex \bea {\bf x}\in V_i&\ra ({\bf A}-\lm_i{\bf E})^{m_i}{\bf x}={\bf 0}\\ &\ra g({\bf A}){\bf x}={\bf 0}\\ &\ra {\bf x}=u({\bf A})g({\bf A}){\bf x}+v({\bf A})h({\bf A}){\bf x}=v({\bf A})h({\bf A}){\bf x} =h({\bf A})v({\bf A}){\bf x}\in U\\ &\quad\sex{\exists\ u,v,\st uf+vg=1};\\ {\bf x}\in U&\ra {\bf x}=h({\bf A}){\bf y}\\ &\ra {\bf x}=h({\bf A})({\bf v}_1+\cdots+{\bf v}_s+{\bf w}_1+\cdots+{\bf w}_s)\\ &\quad\quad\,=h({\bf A}){\bf v}_1+\cdots+h({\bf A}){\bf v}_s\in \oplus_{i=1}^s V_i\quad\sex{{\bf v}_i\in V_i\ra h({\bf A}){\bf v}_i\in V_i}. \eea \eeex$$
