试题有 6 个大题, 选作 4 题即可, 下面回忆的是其中的 4 题.
1. ($25'$) (1). 试证: $$\bex x,y>0,\ x\neq y\ra (x+y)\ln \frac{x+y}{2}<x\ln x+y\ln y. \eex$$ (2). 试证: $$\bex 0<e-\sex{1+\frac{1}{n}}^n<\frac{3}{n},\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ (3). 试证曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}\ (a>0)$ 上任一点的切平面在坐标轴上的截距之和为常数.
2. ($25'$) (1). 设 $\al_1,\cdots,\al_m\in\bbR^n\ (m\leq n)$. 试证: $\sed{\al_1,\cdots,\al_m}$ 线性无关等价于$$\bex \sed{\al_1,\al_1+\al_2,\cdots,\al_1+\al_2+\cdots+\al_m} \eex$$ 线性无关. (2). 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $\al,\beta$ 均为 $n$ 维列向量, 试证: $$\bex |A+\al\beta^T|=|A|(1+\beta^TA^{-1}\al). \eex$$
3. ($25'$) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $\omega>0$, $b$ 为常数, 试证迭代格式 (大概如此) $$\bex x^{(k+1)}=x^{(k)}-\omega \sex{A\cdot \frac{x^{(k+1)}-x^{(k)}}{2}-b} \eex$$ 对 $\forall\ x^{(0)}$ 在解方程 $Ax=b$ 是均收敛.
4. ($25'$) 设 $$\bex f(x)=\sedd{\ba{ll} 1+x,&-1\leq x<0,\\ 1-x,&0\leq x<1,\\ 0,&|x|>1. \ea} \eex$$ (1). 试求 $\hat f(\xi)$, 其中 $$\bex \hat f(\xi)=\int_{\bbR} f(x)e^{-ix\xi}\rd x. \eex$$ (2). 设 $$\bex f(x)=\sum_n c(n)e^{-inx}, \eex$$ 试求 $c(n)$. (3). 设 $$\bex H(\xi)=\frac{1}{2}\sum_n c(n) e^{-in\xi}, \eex$$ 试证: $$\bex H(\xi)+H(\xi+\pi)=1. \eex$$
