(from Longji Zhong) 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上一致连续, 且对 $\forall\ h>0$, $\dps{\vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在.
证明: 由 $f$ 一致连续知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ 0<x,x'<\infty, |x-x'|< \delta \ra |f(x)-f(x')|<\cfrac{\ve}{2}. \eex$$ 又由 $\dps{\vlm{n}f(n\delta)\equiv A}$ 存在知对上述 $\ve>0$, $$\bex \exists\ N,\ n\geq N\ra |f(n\delta)-A|<\cfrac{\ve}{2}. \eex$$ 于是对 $\forall\ x\geq N\delta$, $$\bex \exists\ n\geq N,\st n\delta\leq x<(n+1)\delta\ra 0\leq x-n\delta<\delta. \eex$$ 我们有 $$\beex \bea |f(x)-A| &=|f(x)-f(n\delta)|+|f(n\delta)-A|\\ &<\cfrac{\ve}{2}+\cfrac{\ve}{2}\\ &=\ve. \eea \eeex$$
注记: 写完后感觉有点问题. 毕竟这个 $A=A(\delta)=A(\delta(\ve))$, 与 $\ve$ 有关. 所以你要在这个证明前面思考: 极限$\dps{\vlm{n}f(nh)}$ 是否不依赖于 $h$ 的选取. 你能证明么?
