[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)

设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记

$$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证: $\scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $\sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.

 

证明: 若

$$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x),\quad g(x)=q_1(x)(x^2-1)+r_1(x), \eex$$ 则 $$\beex \bea kf(x)&=kq(x)(x^2-1)+kr(x),\\ f(x)+g(x)&[q(x)+q_1(x)](x^2-1)+r(x)+r_1(x). \eea \eeex$$ 由辗转相除的唯一性即知 $$\beex \bea \scrA(kf(x))&=kr(x)=k\scrA(f(x)),\\ \scrA(f(x)+g(x))&=r(x)+r_1(x)=\scrA(f(x))+\scrA(g(x)). \eea \eeex$$ 故 $\scrA$ 为线性变换. 往求 $\scrA$ 在基 $1,x,x^2,x^3,x^4$ 下的矩阵. 设 $$\bex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=q(x)(x^2-1)+px+q, \eex$$ 其中 $r(x)=px+q$ 为余式, 则将 $x=1$、$x=-1$ 分别代入有 $$\beex \bea a+b+c+d+e&=p+q,\\ a-b+c-d+e&=-p+q. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex p=b+d,\quad q=a+c+e,\quad r(x)=(b+d)x+a+c+e. \eex$$ 而 $$\beex \bea \scrA(1,x,x^2,x^3,x^4)=(1,x,x^2,x^3,x^4)\sex{\ba{ccccc} 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \ea}. \eea \eeex$$