[Everyday Mathematics]20150306

简介: 在王高雄等《常微分方程(第三版)》习题 2.5 第 1 题第 (32) 小题: $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. \eex$$   解答: $$\beex \bea 0&=(1+xy^3)\rd x+(1+x^3y)\rd y...

在王高雄等《常微分方程(第三版)》习题 2.5 第 1 题第 (32) 小题: $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. \eex$$

 

解答: $$\beex \bea 0&=(1+xy^3)\rd x+(1+x^3y)\rd y\\ &=\rd (x+y) +xy^3\rd x+x^3y\rd y\\ &=\rd (x+y) +xy^2(y\rd x+x\rd y)+x^2y(x\rd y+y\rd x) -x^2y^2\rd (x+y)\\ &=(1-x^2y^2)\rd (x+y)+\frac{1}{2}(x+y)\rd (x^2y^2). \eea \eeex$$ 当 $x^2y^2\neq 1$, $x+y\neq 0$ 时, $$\bex 0=\frac{2\rd (x+y)}{x+y} -\frac{\rd (x^2y^2)}{x^2y^2-1} =\rd \ln \frac{(x+y)^2}{x^2y^2-1}\ra C(x^2y^2-1)=(x+y)^2. \eex$$ 故原方程的通解为 $(x+y)^2=C(x^2y^2-1)$. 另外, 还有特解 $x+y=0$. 

目录
相关文章
[Everyday Mathematics]20150304
证明: $$\bex \frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{1-\cos 1\cos \lm-\lm \sin 1\sin \lm}{1-\lm^2}\cos \lm x\rd \lm =\sedd{\ba{ll} |\sin x|,&-1
683 0
|
机器学习/深度学习
[Everyday Mathematics]20150301
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有任意阶导数, $f^{(n)}(0)=0$, 其中 $n$ 是任意正整数, 且存在 $C>0$, $$\bex |f^{(n)}(x)|\leq C^nn!,\quad \forall\ n\in\bbN,\quad \forall\ x\in[-1,1].
658 0
[Everyday Mathematics]20150215
设 $n,k$ 是正整数, 使得 $x^{2k}-x^k+1$ 整除 $x^{2n}+x^n+1$. 试证: $x^{2k}+x^k+1$ 整除 $x^{2n}+x^n+1$.
518 0
[Everyday Mathematics]20150222
设 $$\bex a_0=1,\quad a_1=\frac{1}{2},\quad a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n}\ (n\geq 1). \eex$$ 试证: $\dps{\sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_k}}$ 收敛, 并求其值.
694 0
[Everyday Mathematics]20150214
设 $\dps{x\in \sex{0,\frac{\pi}{2}}}$, 试比较 $\tan(\sin x)$ 和 $\sin(\tan x)$.
564 0
[Everyday Mathematics]20150220
试求 $$\bex \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}. \eex$$
508 0
|
机器学习/深度学习
[Everyday Mathematics]20150211 Carlson inequality
$$\bex a_n\geq 0\ra \vsm{n}a_n\leq \sqrt{\pi}\sex{\vsm{n}a_n^2}^{1/4} \sex{\vsm{n}n^2a_n^2}^{1/4}, \eex$$ $$\bex \int_0^\infty |f(x)|\rd x \leq\sqrt{\...
597 0
[Everyday Mathematics]20150204
设 $k_0>0$, $\phi:[k_0,\infty)\to[0,\infty)$ 是有界递减函数, 并且 $$\bex \phi(k)\leq \frac{A}{(k-h)^\al}\phi(h)^\beta,\quad k>h>k_0, \eex$$ 其中 $A,\al>0$, $0h>k_0.
677 0
[Everyday Mathematics]20150209
设 $f$ 在区间 $I$ 上三阶可导, $f'\neq 0$, 则可定义 $f$ 的 Schwarz 导数: $$\bex S(f,x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\sez{\frac{f''(x)}{f'(x)}}^2 =\sez{\frac{f''(x)...
806 0