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[Everyday Mathematics]20150130

2015-01-13 709

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简介： 计算下列积分

$\bex \int_0^\infty \frac{\sin^3x}{x^3}\rd x. \eex$

计算下列积分

$\bex \int_0^\infty \frac{\sin^3x}{x^3}\rd x. \eex$

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150306

在王高雄等《常微分方程(第三版)》习题 2.5 第 1 题第 (32) 小题:

$\bex \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. \eex$ 解答: $$\beex \bea 0&=(1+xy^3)\rd x+(1+x^3y)\rd y...

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[Everyday Mathematics]20150301

设

$f(x)$ 在

$[-1,1]$ 上有任意阶导数,

$f^{(n)}(0)=0$ , 其中

$n$ 是任意正整数, 且存在

$C>0$ , $$\bex |f^{(n)}(x)|\leq C^nn!,\quad \forall\ n\in\bbN,\quad \forall\ x\in[-1,1].

张祖锦

665 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150224

设

$A,B$ 是

$n$ 阶实对称矩阵, 它们的特征值

$>1$ . 试证:

$AB$ 的特征值的绝对值

$>1$ .

张祖锦

480 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150215

设

$n,k$ 是正整数, 使得

$x^{2k}-x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ . 试证:

$x^{2k}+x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ .

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150220

试求

$\bex \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}. \eex$

张祖锦

522 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150221

设

$y_n=x_n^2$ 如下归纳定义:

$\bex x_1=\sqrt{5},\quad x_{n+1}=x_n^2-2\ (n=1,2,\cdots). \eex$ 试求

$\dps{\vlm{n}\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_{n+1}}}$ .

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[Everyday Mathematics]20150211 Carlson inequality

$\bex a_n\geq 0\ra \vsm{n}a_n\leq \sqrt{\pi}\sex{\vsm{n}a_n^2}^{1/4} \sex{\vsm{n}n^2a_n^2}^{1/4}, \eex$ $$\bex \int_0^\infty |f(x)|\rd x \leq\sqrt{\...

张祖锦

615 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150209

设

$f$ 在区间

$I$ 上三阶可导,

$f'\neq 0$ , 则可定义

$f$ 的 Schwarz 导数: $$\bex S(f,x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\sez{\frac{f''(x)}{f'(x)}}^2 =\sez{\frac{f''(x)...

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150208

对

$f\in C^2(\bbR)$ 适合

$\bex \vlm{|x|}f(x)=0, \eex$ 试证: $$\bex \int_{\bbR} |f'|^p\rd x \leq (p-1)^\frac{p}{2}\int_{\bbR} |ff''|^\frac{p}{2} \rd x,\quad p\geq 2.

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150207

求极限 $$\bex \lim_{x\to+\infty}\sex{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x^\al}}}-\sqrt{x}},\quad\sex{0

张祖锦

506 0 0

[Everyday Mathematics]20150130

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