1 基本概念

　　数据结构：相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。包括三方面：逻辑结构、存储结构和数据运算。

2 数据结构“三要素”

2.1 逻辑结构

　　逻辑结构是描述数据元素之间的逻辑关系，它与数据的存储无关，是独立于计算机的。数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构，线性表是典型的线性结构；树和图是典型的非线性结构。数据的逻辑结构分类如下：

• 线性结构：数据元素之间存在“一对一”的关系。
• 树形结构：数据元素之间存在“一对多”的关系。
• 图形结构：数据元素之间存在“多对多”的关系。
• 集合关系：数据元素之间除了“同属于一个集合”的关系外，无其他关系。

2.2 存储结构

　　存储结构又称物理结构，是指数据结构在计算机的实际表示方式，用计算机语言的实现，依赖于计算机语言。数据的存储结构分类如下：

• 顺序存储：逻辑上相邻的结点存储在物理位置也相邻。优点：可以随机存储，每个结点占用较少空间。缺点：要占用相邻一整块存储空间，会产生外部碎片。
• 链式存储：不要求逻辑上相邻的结点存储在物理位置也相邻。优点：能充分利用存储空间。缺点：只能顺序存储，每个结点占用较多空间。
• 索引存储：存储结点要建立附加的索引表，索引表中的每一项叫索引顶（关键字，地址）。优点：检索速度快。缺点：占用额外的空间。
• 散列存储：也叫哈希存储（Hash），由结点的关键字通过散列函数直接计算该结点的地址。优点：检索速度很快。缺点：如果散列函数设计不好会出现存储单元冲突，而解决冲突会带来额外的时空开销。

2.3 数据运算

　　施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算功能；运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

3 算法和算法评价

3.1 算法

　　算法（algorithm）是对特定问题的求解步骤的一种描述，它是指令的有限步骤。

3.1.1算法的特性

• 有穷性：执行有穷步骤后结束。区别于程序的死循环。
• 确定性：了叫无二义性，对于相同的输入只能得到相同的输出。
• 可行性：可以通过基本运算实现。
• 输入性：有0个或多个输入。
• 输出性：有1个或多个输出。

3.1.2算法设计要求

　　正确性，易读性(readability)，健壮性(robustness)，时空效率。

3.2 算法评价

　　算法效率的度量是通过算法的时间复杂度和空间复杂度来描述的。

3.2.1 时间复杂度

　　语句的频度是该语句在算法中被重复执行的次数。算法所有语句的频度之和记作T(n)，它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)数量级。算法的基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，所以采用算法中基本运算的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度也记为：T(n) = O(f(n))。
　　上式中“O”的含义是T(n)的数量级，其数学定义：若T(n)和f(n)是定义在正整数集合的两个函数，则存在正常数C和n0，使得当n >= n0时，都满足0 <= T(n) < C*f(n)。
　　算法的时间复杂度不仅依赖于问题的规模n，也取决于输入数据的初始状态（如各种排序算法）。

三类时间复杂度：

• 平均时间复杂度：所有可能输入实例在等概率的情况下，算法的期望运行时间。
• 最好时间复杂度：最好情况下，算法的时间复杂度。
• 最坏时间复杂度：最坏情况下，算法的时间复杂度。一般考虑最坏情况的时间复杂度，以保证运行时间不会比它更长。

分析一个程序时间复杂度的两个规则：

• 加法规则：T(n) = T1(n)+T2(n) = O(f(n))+O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))
• 乘法规则：T(n) = T1(n)*T2(n) = O(f(n))*O(g(n)) = O((f(n)*g(n))

3.2.2 空间复杂度

　　空间复杂度S(n)：该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。渐进空间复杂度也常简称为空间复杂度，记作：S(n) = O(g(n))。
　　算法原地工作是指算法所需辅助空间是常量，即O(1)。

3.2.3 数量级比较

　　O(1) < O(log2 n) < O(n) < O(n*log n) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
　　

　
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