相机标定过程中，我们会得到一个3x3的旋转矩阵，下面是我们把旋转矩阵与欧拉角之间的相互转换：

1 旋转矩阵转换为欧拉角（Euler Angles）

1、旋转矩阵是一个3x3的矩阵，如下：

$$ R=\left(\begin{array}{ccc} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{array}\right) $$

刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

2、欧拉角（Euler Angles）

欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向

3、旋转矩阵转换为欧拉角的公式：

• Z轴对应的欧拉角

$$ \theta_{z}=\arctan 2\left(-r_{31}, r_{11}\right) $$

• Y轴对应的欧拉角

$$ \theta_{y}=\arctan 2\left(-r_{31}, \sqrt{r_{31}{ }^{2}+r_{33}{ }^{2}}\right) $$

• X轴对应的欧拉角

$$ \theta_{x}=\arctan 2\left(-r_{32}, r_{33}\right) $$

注意：

上面公式计算测的欧拉角是弧度制

上面公式的意思是，相机坐标系想要转到与世界坐标系完全平行（即$x_c$平行于$x_w$，$y_c$平行于$y_w$，$z_c$平行于$z_w$，且他们的方向都是相同的），需要旋转3次，设原始相机坐标系为C0。

• 1、C0绕其z轴旋转，得到新的坐标系C1；

• 2、C1绕其y轴旋转，得到新的坐标系C2（注意旋转轴为C1的y轴，而非C0的y轴）；

• 3、C2绕其x轴旋转，得到新的坐标系C3。此时C3与世界坐标系W完全平行。

特别注意：旋转顺序为z y x，切记不能调换。

4、python实现：旋转矩阵转换为欧拉角

import numpy as np

rotate_matrix = [[-0.0174524064372832, -0.999847695156391, 0.0],
                 [0.308969929589947, -0.00539309018185907, -0.951056516295153],
                 [0.950911665781176, -0.0165982248672099, 0.309016994374948]]

RM = np.array(rotate_matrix)


# 旋转矩阵到欧拉角(弧度值)
def rotateMatrixToEulerAngles(R):
    theta_z = np.arctan2(RM[1, 0], RM[0, 0])
    theta_y = np.arctan2(-1 * RM[2, 0], np.sqrt(RM[2, 1] * RM[2, 1] + RM[2, 2] * RM[2, 2]))
    theta_x = np.arctan2(RM[2, 1], RM[2, 2])
    print(f"Euler angles:\ntheta_x: {theta_x}\ntheta_y: {theta_y}\ntheta_z: {theta_z}")
    return theta_x, theta_y, theta_z

# 旋转矩阵到欧拉角(角度制)
def rotateMatrixToEulerAngles2(R):
    theta_z = np.arctan2(RM[1, 0], RM[0, 0]) / np.pi * 180
    theta_y = np.arctan2(-1 * RM[2, 0], np.sqrt(RM[2, 1] * RM[2, 1] + RM[2, 2] * RM[2, 2])) / np.pi * 180
    theta_x = np.arctan2(RM[2, 1], RM[2, 2]) / np.pi * 180
    print(f"Euler angles:\ntheta_x: {theta_x}\ntheta_y: {theta_y}\ntheta_z: {theta_z}")
    return theta_x, theta_y, theta_z



if __name__ == '__main__':
    rotateMatrixToEulerAngles(RM)
    rotateMatrixToEulerAngles2(RM)

输出结果如下：

Euler angles:
theta_x: -0.05366141770874149
theta_y: -1.2561686529408898
theta_z: 1.6272221428848495
Euler angles:
theta_x: -3.0745727573994635
theta_y: -71.97316217014685
theta_z: 93.23296111753567

5、C++实现：旋转矩阵转换为欧拉角

//计算出相机坐标系的三轴旋转欧拉角，旋转后可以转出世界坐标系。
//旋转顺序为z、y、x
const double PI = 3.141592653;
double thetaz = atan2(r21, r11) / PI * 180;
double thetay = atan2(-1 * r31, sqrt(r32*r32 + r33*r33)) / PI * 180;
double thetax = atan2(r32, r33) / PI * 180;

2 欧拉角转换为旋转矩阵

欧拉角转换为旋转矩阵，就是沿XYZ三个轴进行旋转，参考旋转矩阵

1、利用上面生成的弧度值的欧拉角，再转换为旋转矩阵

# 欧拉角转换为旋转矩阵
# 输入为欧拉角为 弧度制
# euler_angles = [-0.05366141770874149, -1.2561686529408898, 1.6272221428848495]
def eulerAnglesToRotationMatrix(theta):
    R_x = np.array([[1, 0, 0],
                    [0, np.cos(theta[0]), -np.sin(theta[0])],
                    [0, np.sin(theta[0]), np.cos(theta[0])]
                    ])

    R_y = np.array([[np.cos(theta[1]), 0, np.sin(theta[1])],
                    [0, 1, 0],
                    [-np.sin(theta[1]), 0, np.cos(theta[1])]
                    ])

    R_z = np.array([[np.cos(theta[2]), -np.sin(theta[2]), 0],
                    [np.sin(theta[2]), np.cos(theta[2]), 0],
                    [0, 0, 1]
                    ])

    R = np.dot(R_z, np.dot(R_y, R_x))
    print(f"Rotate matrix:\n{R}")
    return R

if __name__ == '__main__':
    euler_angles = [-0.05366141770874149, -1.2561686529408898, 1.6272221428848495]
    eulerAnglesToRotationMatrix(euler_angles)

输出结果：

Rotate matrix:
[[-1.74524064e-02 -9.99847695e-01 -7.38075162e-16]
 [ 3.08969930e-01 -5.39309018e-03 -9.51056516e-01]
 [ 9.50911666e-01 -1.65982249e-02  3.09016994e-01]]