“合并K个升序链表”，这是一道中等难度的题目，经常出现在编程面试中。以下是该问题的详细描述、解题步骤、不同算法的比较、代码示例及其分析。
问题描述
给你一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。
请你将所有链表合并到一个升序链表中，返回合并后的链表。
示例：
输入：lists = [[1,4,5],[1,3,4],[2,6]] 输出：[1,1,2,3,4,4,5,6]
解释：链表数组如下：
[ 1->4->5, 1->3->4, 2->6 ] 将它们合并到一个有序链表中得到。 1->1->2->3->4->4->5->6
方法一：直接合并
解题步骤
- 初始化：
• 如果链表数组为空，则返回None。
• 如果链表数组中只有一个链表，则直接返回这个链表。 - 逐对合并链表：
• 初始化merged_list为lists[0]，即从第一个链表开始。
• 逐个遍历余下的链表，与merged_list进行合并，每次合并后更新merged_list。 - 合并两个链表的函数：
• 创建一个哑结点dummy作为合并链表的起始节点。
• 使用两个指针分别指向两个链表的头部，比较指针所指节点的值，将较小值节点连接到结果链表上，然后移动该指针到下一个节点。
• 如果某一链表遍历完毕，将另一链表的剩余部分直接连接到结果链表的尾部。
• 返回哑结点的下一个节点，即合并后链表的头部。 - 完成合并：
• 继续遍历并合并剩余的链表，直至所有链表均合并完成。
代码示例
class ListNode: def __init__(self, val=0, next=None): self.val = val self.next = next def mergeTwoLists(l1: ListNode, l2: ListNode) -> ListNode: dummy = ListNode(0) current = dummy while l1 and l2: if l1.val < l2.val: current.next = l1 l1 = l1.next else: current.next = l2 l2 = l2.next current = current.next # Attach the remaining part of l1 or l2 current.next = l1 if l1 is not None else l2 return dummy.next def mergeKLists(lists: List[Optional[ListNode]]) -> Optional[ListNode]: if not lists: return None if len(lists) == 1: return lists[0] merged_list = lists[0] for i in range(1, len(lists)): merged_list = mergeTwoLists(merged_list, lists[i]) return merged_list
性能分析
时间复杂度：对于k个链表的情况，直接合并的时间复杂度是O(kN)，其中N是链表中的节点总数。这是因为每次合并操作需要遍历涉及的两个链表的长度，而链表长度随着合并次数增加而增长。
空间复杂度：O(1)，不计入输入和输出占用的空间，合并过程中只使用了常数额外空间。
结论
直接合并是一个简单直观的方法，适合链表数量较少或对时间复杂度要求不是非常严格的情况。然而，对于大量链表的合并，使用最小堆或分治法（如两两合并）可能会更高效。
方法二：使用最小堆
解题步骤
- 初始化最小堆：
• 创建一个空的最小堆（优先队列）来存储链表节点，堆中的元素按节点的值排序。
• 遍历所有链表，将每个链表的头节点加入最小堆中。 - 构建结果链表：
• 创建一个哑结点（dummy node）作为结果链表的头部，这样可以方便地添加新节点。
• 使用一个指针current跟踪结果链表的最后一个节点。 - 遍历并合并：
• 当最小堆不为空时，执行以下操作：
• 从堆中弹出最小元素（当前最小节点）。
• 将current的next指针指向这个最小节点。
• 移动current指针到最小节点。
• 如果这个最小节点有后继节点，则将后继节点加入最小堆中。 - 完成合并：
• 当最小堆为空时，所有链表的节点都已链接到结果链表中。
• 返回哑结点的next，即合并后链表的头部。
代码示例
import heapq class ListNode: def __init__(self, val=0, next=None): self.val = val self.next = next def mergeKLists(lists): if not lists: return None # Create a heap and a dummy node to start the merged list heap = [] dummy = ListNode(0) current = dummy # Initial population of the heap with the first node of each list, if available for i, node in enumerate(lists): if node: heapq.heappush(heap, (node.val, i, node)) # Iterate over the heap and build the merged list while heap: val, idx, node = heapq.heappop(heap) current.next = node current = current.next if node.next: heapq.heappush(heap, (node.next.val, idx, node.next)) return dummy.next
性能分析
时间复杂度：每个节点被处理一次，而且每次处理涉及的时间复杂度为O(log k)，因此总的时间复杂度是O(Nlogk)，其中是所有链表中元素的总数，是链表的数量。
空间复杂度：最小堆中最多存储个元素，因此空间复杂度是O(k)。
结论
使用最小堆的方法在合并多个链表时非常有效，尤其是当链表数量较多时。这种方法的时间复杂度相对较低，是因为它能快速地找到当前最小的节点并将其加入到结果链表中，而空间复杂度则主要由堆的大小决定。这使得最小堆方法在处理大规模数据时表现出色。
方法三：分治合并
解题步骤
- 递归分治函数定义：
• 创建一个函数mergeKLists，如果列表为空或长度为1，直接返回。
• 如果列表长度大于1，将链表列表分成两半，分别对这两半递归调用mergeKLists。 - 合并两个链表的函数：
• 创建另一个辅助函数mergeTwoLists用于合并两个链表。这个函数将两个链表头作为输入，合并后返回新链表的头。 - 执行分治合并：
• 在mergeKLists中，通过递归地将链表数组拆分至只剩单个链表，然后开始合并。
• 使用mergeTwoLists逐对合并链表，直至整个数组合并为一个链表。 - 返回结果：
• 递归完全执行完毕后，返回合并后的链表头部。
代码示例
class ListNode: def __init__(self, val=0, next=None): self.val = val self.next = next def mergeTwoLists(l1: ListNode, l2: ListNode) -> ListNode: if not l1 or not l2: return l1 or l2 dummy = ListNode(0) current = dummy while l1 and l2: if l1.val < l2.val: current.next = l1 l1 = l1.next else: current.next = l2 l2 = l2.next current = current.next current.next = l1 or l2 return dummy.next def mergeKLists(lists: List[ListNode]) -> ListNode: if not lists: return None if len(lists) == 1: return lists[0] mid = len(lists) // 2 left = mergeKLists(lists[:mid]) right = mergeKLists(lists[mid:]) return mergeTwoLists(left, right)
性能分析
时间复杂度：
• 每次合并操作需要线性时间，即O(n)，其中n是参与合并的两个链表的总节点数。
• 通过每次递归减半链表数组的长度，整体上每层递归需要O(N)时间，其中N是所有链表中元素的总数。
• 递归的深度是O(log k)，因此总的时间复杂度是O(N logk)。
空间复杂度：
• 递归调用栈的深度为O(logk)，因此空间复杂度为O(logk)。
结论
分治合并是解决合并多个链表的问题中非常有效的方法，尤其适合处理大量链表的情况。它的时间复杂度与使用最小堆的方法相同，但通常在实际应用中由于常数因子较小而表现更优。此外，分治法的代码结构清晰，易于理解和实现，使其成为面试和实际工程中的常用策略。
总结
合并 K 个升序链表可以通过多种算法实现，包括直接合并、使用最小堆和分治合并。在面试中，根据具体情况选择最适合的方法。其中，使用最小堆和分治合并的方法因其较优的时间复杂度通常更受青睐。这些方法不仅展示了数据结构的有效使用，也体现了分治策略在实际问题中的应用。
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