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LeetCode解锁1000题: 打怪升级之旅
备注说明：方便大家阅读，统一使用python，带必要注释，公众号 数据分析螺丝钉 一起打怪升级
问题描述
给定一个数字 n，要求生成所有可能的并且有效的括号组合。
有效的括号组合需要满足以下条件：
- 左括号必须以正确的顺序闭合。
- 左括号和右括号的数量相等。
例如，当 n = 3 时，一个可能的解集为：
[ "((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"]
解题思路
方法一：递归
解题步骤
要生成所有有效的括号组合，我们可以使用递归来逐步构建字符串。我们维护两个变量：左括号和右括号的剩余数量。在每一步中，我们都有两个选择：
- 如果左括号的数量不为0，我们可以添加一个左括号。
- 如果右括号的数量大于左括号的数量，我们可以添加一个右括号。
python示例
- 主函数
generateParenthesis：
- 输入参数
n代表一对括号的数量。 - 定义了一个内部的辅助函数
backtrack，用于递归构建有效的括号组合。 - 定义一个列表
results，用来存储所有有效的括号组合。 - 最后，调用
backtrack函数并返回results。
- 辅助函数
backtrack：
- 接收三个参数：当前累积的括号字符串
accumulated，当前开括号的数量open_brackets，和当前闭括号的数量close_brackets。 - 递归的基准情况是当累积的字符串长度达到2n时，此时我们找到了一个有效的括号组合，将其添加到结果列表中。
- 如果开括号的数量小于n，我们可以添加一个开括号并递归地调用
backtrack。 - 如果闭括号的数量小于开括号的数量，这意味着我们可以添加一个闭括号而不破坏括号的有效性，因此我们再次递归地调用
backtrack，添加一个闭括号。
下面是一个Python示例代码
from typing import List def generateParenthesis(n: int) -> List[str]: def backtrack(accumulated: str, open_brackets: int, close_brackets: int): # 当累积的字符串长度达到2n时，表示形成了一个有效的组合 if len(accumulated) == 2 * n: results.append(accumulated) return # 如果开括号的数量少于n，可以添加一个开括号 if open_brackets < n: backtrack(accumulated + '(', open_brackets + 1, close_brackets) # 如果闭括号数量少于开括号，可以添加一个闭括号 if close_brackets < open_brackets: backtrack(accumulated + ')', open_brackets, close_brackets + 1) results = [] backtrack('', 0, 0) return results
算法分析
- 时间复杂度：O(4^n / sqrt(n))，这是基于卡塔兰数的通项公式。
- 空间复杂度：O(n)，递归栈的空间。
方法二：动态规划
动态规划是解决这类问题的另一种有效方法，其基本思想是将问题分解为一系列相关的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算。
解题步骤
- 定义一个列表
dp来存储所有解，其中dp[i]包含了所有由i对括号能组成的有效组合。 - 初始化
dp[0] = [""]，即没有括号时认为存在一个空的解。 - 对于每个
i从1到n（含），计算dp[i]的值：
- 遍历
j从0到i-1（含），我们将dp[i]的解视为在dp[j]的解的基础上添加一对括号，然后在里面填充dp[i-j-1]的解。 - 具体地，对于
dp[j]中的每个字符串，我们在其外部添加一对括号，然后在这对括号内部尝试插入dp[i-j-1]中的所有可能的字符串。
python示例
def generateParenthesis(n: int) -> List[str]: dp = [[] for _ in range(n + 1)] dp[0] = [""] # 初始化基础情况 for i in range(1, n + 1): for j in range(i): for a in dp[j]: for b in dp[i-j-1]: dp[i].append("(" + a + ")" + b) return dp[n]
算法分析
动态规划方法相较于递归回溯，具有不同的优势：
- 时间复杂度：虽然动态规划方法的时间复杂度仍然是指数级的，因为解的数量本身就是指数增长的，但是通过避免重复计算子问题，它可能在某些情况下比纯粹的递归回溯更高效。
- 空间复杂度：O(n * 卡塔兰数)，这是因为需要存储所有由
i对括号组成的所有有效组合。
应用场景
这个问题不仅是编程面试中的常见问题，也有着广泛的应用场景，例如在编译原理中处理括号匹配问题，在数学中研究卡塔兰数的性质等。
结论
生成所有有效的括号组合是一类经典的算法问题，常见于编程面试和算法竞赛。对于这个问题，主要有两种解决方案：递归回溯和动态规划。每种方法都有其独特的优势和考量。
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