NumPy 二项分布生成与 Seaborn 可视化技巧

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简介: 二项分布是描述固定次数独立试验中成功次数的概率分布,常用于分析二元结果的事件,如抛硬币。分布由参数 n(试验次数)、p(单次成功概率)和 k(成功次数)定义。概率质量函数 P(k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)。NumPy 的 `random.binomial()` 可生成二项分布数据,Seaborn 可用于可视化。当 n 大且 p 接近 0.5 时,二项分布近似正态分布。练习包括模拟不同条件下的二项分布和应用到考试场景。

二项分布

简介

二项分布是一种离散概率分布,用于描述在固定次数的独立试验中,事件“成功”的次数的概率分布。它通常用于分析诸如抛硬币、做选择题等具有两个结果(成功或失败)的事件。

参数

二项分布用三个参数来定义:

n:试验次数,表示重复相同实验的次数。
p:每次试验中成功事件发生的概率。
k:成功事件发生的次数,范围为 0 到 n。

公式

二项分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在 n 次试验中恰好获得 k 次成功的概率,计算公式为:

P(k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)

其中:

C(n, k) 是组合数,表示从 n 个元素中选取 k 个元素的方案数。
p^k 表示 k 次成功的概率。
(1 - p)^(n - k) 表示 n - k 次失败的概率。

生成二项分布数据

NumPy 提供了 random.binomial() 函数来生成服从二项分布的随机数。该函数接受以下参数:

n:试验次数。
p:每次试验中成功事件发生的概率。
size:输出数组的形状。

示例:生成 10 次试验中,每次成功概率为 0.5 的事件的成功次数:

import numpy as np

data = np.random.binomial(n=10, p=0.5, size=10)
print(data)

可视化二项分布

Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布,包括二项分布。

示例:绘制 100 次试验中,每次成功概率为 0.6 的事件的成功次数分布:

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.binomial(n=100, p=0.6, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

正态分布与二项分布的关系

当试验次数 n 很大,成功概率 p 接近 0.5 时,二项分布可以近似为正态分布。其均值 μ 为 np,标准差 σ 为 sqrt(np(1 - p))。

示例:比较二项分布和正态分布的形状:

import seaborn as sns
import numpy as np

n = 100
p = 0.5

# 生成二项分布数据
data_binomial = np.random.binomial(n=n, p=p, size=1000)

# 生成正态分布数据
mu = n p
sigma = np.sqrt(n p (1 - p))
data_normal = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000)

sns.distplot(data_binomial, label="Binomial")
sns.distplot(data_normal, label="Normal")
plt.legend()
plt.show()

练习

  1. 在 50 次试验中,每次成功概率为 0.2 的事件,模拟成功次数并绘制分布图。
  2. 比较不同试验次数下二项分布形状的变化。
  3. 利用二项分布来模拟一次 10 道选择题的考试,每题答对的概率为 0.7,并计算平均分和及格率(60 分及格)。

解决方案

import seaborn as sns
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 模拟成功次数并绘制分布图
data = np.random.binomial(n=50, p=0.2, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

# 2. 比较不同试验次数下二项分布形状的变化
n_values = [10, 50, 100, 500]
for n in n_values:
    data = np.random.binomial(n=n, p=0.5, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"n={n}")
plt.legend()
plt.show()

# 3. 模拟考试成绩并计算平均分和及格率
scores

最后

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