量子计算与量子密码（入门级-少图版）（2）https://developer.aliyun.com/article/new/database#8D6Su
5、量子电路（3）
笔记
Controlled operations等价电路
Universal quantum gate sets
- 任何作用在k比特上的酉操作U都可以表示为CNOT门和单比特门的电路。
- 这个实现需要O(4^k)个门。
因此，CNOT门和单比特门是通用的。
例如，使用R门和CX门来模拟控制-Rk门。
以下是使用LaTeX表示的控制-Rk门和控制-R门的模拟公式：
控制-Rk门的模拟：CX(k−1,k)⋅Rk⋅CX(k−1,k)
其中，C X ( k − 1 , k ) CX^{(k-1,k)}CX (k−1,k) 表示控制比特 k-1 上的X门作用在目标比特 k 上。
控制-R门的模拟：CX(0,k)⋅R⋅CX(0,k)
这里，C X ( 0 , k ) CX^{(0,k)}CX (0,k)表示控制比特0上的X门作用在目标比特 k 上。
等价关系公式：∣R(k)⟩=CX(k−1,k)⋅Rk⋅CX(k−1,k)⋅∣R(k−1)⟩
其中 ∣ R ( k ) ⟩ |R^{(k)}⟩∣R (k) ⟩表示k比特的状态，∣ R ( k − 1 ) ⟩ |R^{(k-1)}⟩∣R (k−1) ⟩ 表示k-1比特的状态。
等价关系
- X门（又称Pauli-X门）：
X2=I
XT=X
Y门（又称Pauli-Y门）：
Y2=I
YT=−Y
Y=iXZ
，其中Z门是Pauli-Z门
Z门（又称Pauli-Z门）：
Z2=I
ZT=Z
Z=−iXY
，其中Y门是Pauli-Y门
这些等价关系描述了Pauli门之间的运算性质，以及它们的平方等于单位矩阵的特性。这些门在量子计算中非常重要，因为它们用于构建各种量子电路操作。
旋转门
以下是量子计算中的旋转门，它们允许绕Bloch球上的不同轴旋转量子比特状态。这些门对于执行任意单比特操作非常重要。最常见的旋转门包括：
绕Z轴旋转（Rz门）：
- 矩阵表示：
Rz(θ)=[e−iθ/200eiθ/2]
此门围绕Z轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。
绕X轴旋转（Rx门）：
- 矩阵表示：
Rx(θ)=[cos(θ/2)−isin(θ/2)−isin(θ/2)cos(θ/2)]
此门围绕X轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。
绕Y轴旋转（Ry门）：
- 矩阵表示：
Ry(θ)=[cos(θ/2)sin(θ/2)−sin(θ/2)cos(θ/2)]
此门围绕Y轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。
这些旋转门的参数是角度θ \thetaθ，它们用于执行任意单比特转换。选择不同的θ \thetaθ决定了应用于量子比特状态的旋转量，允许对量子状态进行灵活的操作。
1比特通用操作
这些操作符可以用来构建所有的1比特操作。定理如下：
对于每个1比特酉操作U，存在实数a、b、c、d，使得
U=eiaRx(θ)Ry(ϕ)Rz(λ)
其中a 、 b 、 c 、 d 是实数。从这个更小的操作集合可以生成任何可能的1比特门。这意味着，使用旋转操作Rx、Ry和Rz，我们可以实现所有可能的1比特操作。
其作用
控制-控制-U门
一个特殊情况…
假设U = V^2，其中V是某个酉矩阵。
问题：这真的是一个特殊情况吗？
不，这不是一个特殊情况。在量子计算中，控制-控制-U门通常表示为一个操作，其中U代表一个酉操作，而不仅仅是U的平方。在通用的控制-控制-U门中，U可以是任何酉操作，而不限于某个酉操作的平方。因此，这并不是一个特殊情况，而是一种通用的量子门操作。
CkU门
这意味着在模拟Cku门时，可以通过使用干净的辅助工作空间来提高效率，而不需要额外的辅助比特，从而减少门操作的数量。
Construct arbitrary states如何构造任意状态（没搞懂，只看了一遍）
准备任意状态
以固定输入为例，比如 ∣ 000 ⟩ |000⟩∣000⟩，我们如何准备一个任意的三比特状态 ∣ a b c ⟩ |abc⟩∣abc⟩？
对于每个分支，我们分别：
- 分配一个振幅。
- 分配一个相位。
To assign amplitudes分配振幅
分配振幅的方法如下：
分配相位
接下来，我们将继续为每个分支分配相应的相位，然后展示如何创建一个任意的三比特状态。
通过分配适当的振幅和相位，我们可以创建任何所需的三比特状态。
6、量子电路（4）
Actually using QMgates
这是一个著名的量子计算示例，它涉及了量子纠缠和量子态叠加的原理。
Alice总是获胜的原因在于量子态的叠加和干涉效应。为什么Alice总是获胜：
Alice总是获胜的原因在于她的Hadamard操作引入了叠加态，使得硬币处于正面和反面的均匀叠加状态。因此，无论她选择哪一面，都有50%的概率获胜。这展示了量子叠加态的力量，其中硬币处于两种状态的叠加，而不是经典硬币只能处于一种状态。
Heisenberg不确定性原理。
赫列沃定理（Holevo’s Theorem）是量子信息理论中的一个重要定理，它涉及到在量子力学中传递和存储信息的极限。这个定理提出了在量子态之间传递信息的局限性，即信息的可获取性。
赫列沃定理的核心结论是，在量子力学中，如果你有一个集合的量子态，无论这些态如何多样，你不能以高于该集合的熵（信息量）的方式来传递信息。这意味着，尽管在量子力学中存在叠加态和纠缠等概念，但在某种意义上，信息的传递仍然受到物理规律的局限。
这个定理对于量子通信、量子计算和量子信息理论等领域都有重要应用，它强调了量子力学中信息的非经典性质，并帮助我们理解在量子系统中信息传递的极限。
贝尔基底（Bell Basis）
是描述两个纠缠态的一组基底。纠缠态是一种特殊的量子态，其中两个或多个粒子之间存在非常强烈的量子关联，无论它们之间有多远。这种关联通常会导致粒子之间的状态在某些方面是相互关联的，即使它们之间的距离很远。
贝尔基底包括四个正交的态，通常写为：|Φ+⟩、|Φ−⟩、|Ψ+⟩和|Ψ−⟩。这些态是贝尔基底的四个基本元素，每一个都代表了一种特殊的纠缠态。这些态在量子信息和量子通信领域中非常有用，因为它们可以用来描述和操控纠缠态，以实现量子通信和量子计算等应用。
这些贝尔基底在实验中，经常用于测试贝尔不等式和验证量子力学的纠缠性质。
密集编码（Dense Coding）
是一种量子通信协议，它允许Alice使用仅一个量子比特向Bob传输两个经典比特的信息。这是通过事先共享一个特殊的纠缠态来实现的。密集编码利用了量子纠缠的奇特性质，让信息传输更为高效。
密集编码的步骤如下：
- 预共享纠缠态：首先，Alice和Bob需要共享一个特殊的两比特纠缠态，通常使用Bell基底中的其中一个。这个纠缠态不能被分解为两个独立的比特，所以Alice和Bob的比特之间是纠缠的。
- Alice的编码：Alice希望传输两个经典比特的信息，她可以使用一个量子比特来编码这些信息。她将这个量子比特与她拥有的纠缠态中的一个比特进行相互作用，实施一个特定的门操作。
- 传输量子比特：Alice将这个与纠缠态相互作用后的量子比特发送给Bob。
- Bob的解码：Bob接收到Alice发送的量子比特后，可以实施一个特定的解码操作，根据传输来的量子比特和他们共享的纠缠态，恢复出Alice发送的两个经典比特的信息。
这样，Alice只需发送一个量子比特，就能够传输两个经典比特的信息，从而实现了高效的信息传输。
密集编码是量子通信领域中的一个重要应用，充分利用了量子纠缠的优势。
Holevo’s theorem revisited
Holevo’s theorem 说明了在一定条件下，从多个量子态中提取信息的极限。下面是 Holevo’s theorem 的过程用公式表示：
准备量子态 - 这个量子比特可以写成∣ψ⟩=∣0⟩eiθ0∣0⟩+∣a∣eiθ1∣1⟩
我们知道 ∣ θ 0 ∣ 2 + ∣ θ 1 ∣ 2 = 1 |θ_0|^2 + |θ_1|^2 = 1∣θ 0 ∣ 2 +∣θ 1 ∣ 2 =1，所以 ∣ a ∣ |a|∣a∣ 由 ∣ θ 0 ∣ |θ_0|∣θ 0∣ 决定。这留下了三个实参数。
现在分离一个共同的相位：∣ψ⟩=eiθ0(∣0⟩+∣a∣ei(θ1−θ0)∣1⟩)
从物理上来说，全局相位因子是无法观测到的，所以我们可以去掉 e i θ 0 e^{iθ_0}e iθ 0 。这留下了两个实参数。
计算公式
当我们计算 Holevo’s 定理时，通常涉及量子测量的熵和经典信息的不确定性。以下是 Holevo’s 定理的计算公式：
这些公式表示 Holevo’s 定理的关键步骤，其中 S SS 表示量子相对熵，H ( X ) H(X)H(X) 表示经典不确定性，χ ( ρ ) \chi(\rho)χ(ρ) 表示Holevo信息量，I ( X : ρ ) I(X : \rho)I(X:ρ) 表示经典信息和量子信息的关系。
这些公式中的符号和参数需要根据特定的问题和场景进行定义和替代。这些公式通常用于分析从量子态中提取信息的上限。
Holevo定理与不确定性原理
- 准备一个量子比特需要任意数量的比特。
- 测量一个量子比特会得到确切的一比特信息！
- 那重复测量呢？
- 当我们测量一个态时，我们会对它了解一些，但会破坏进一步了解的可能性。
- 这是不确定性原理的一个特例。
量子克隆
在量子计算中，克隆是一个有趣的概念。根据量子力学的原理，你不能简单地复制一个未知量子比特的状态，这是著名的“No-Cloning定理”的一部分。
然而，在某些情况下，你可以制备一个与原始量子比特具有相同状态的量子比特。这不是复制，而是创建一个新的比特，也就是所谓的克隆操作。
克隆操作的数学表示如下：
假设我们有一个初始的量子比特表示为 ∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ | \psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩，我们希望制备一个克隆，表示为 ∣ χ ⟩ | \chi \rangle∣χ⟩。
根据No-Cloning定理，我们不能简单地复制 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle∣ψ⟩。但是，有一个特殊情况下的线性操作可以在某种程度上“克隆” ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle∣ψ⟩，这个操作是所谓的量子门操作。在这种情况下，克隆操作的数学表示是：∣χ⟩=U∣ψ⟩
其中 U UU 是一个单比特门操作。这个操作允许我们创建一个新的量子比特 ∣ χ ⟩ | \chi \rangle∣χ⟩，它在某些方面类似于原始的 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle∣ψ⟩。这就是克隆操作的数学表示，它允许我们从一个已知的量子比特制备一个具有相同状态的新量子比特。
飞散操作（Fan-out）并不等同于克隆
尽管 CNOT 门看起来可以复制比特，但实际上它并不违反克隆定理。
这是因为 CNOT 门的操作是依赖于两个比特之间的纠缠关系。当你在一个纠缠态中应用 CNOT 门时，它会改变两个比特之间的关系，但并不会复制一个单独的比特。
克隆定理阐述了你不能简单地复制一个未知量子比特的状态。
在这里，CNOT 门所做的是创建一个新的纠缠态，而不是复制一个比特的状态。因此，这并不违反克隆定理。
Partial Measurements
可参考：https://blog.csdn.net/xiaoweite1/article/details/128243010
对多比特状态进行部分测量
- 当我们测量量子态 |p〉 的一部分时会发生什么？
- 有两个问题：
- 观察到什么？以什么概率？
- 量子态剩下什么？
请注意：
- 酉算符 U 将某些正交向量映射到计算基底。
- 这样，我们可以在任何基底中对 |p〉 进行测量。
部分测量步骤
量子电路中的部分测量（Partial Measurements）是指对一个量子系统的一部分进行测量，而不是整个系统。这通常涉及到在多比特量子系统上进行测量，以获取关于其中一个或多个比特的信息。
假设我们有一个多比特量子系统，其中要测量的比特集合为 A，其他比特组成的集合为 B。系统的总状态表示为 |ψ⟩。
当我们对 A 部分进行测量时，我们得到的结果为 i（可能的测量结果），并且系统的状态塌缩为对应的条件态 |ψ_i⟩，表示为：
∣i⟩A⊗∣ψi⟩B
比特集合 A 上的测量导致了系统状态的塌缩。测量结果 i 可能会有不同的概率，由比特集合 B 上的系统状态 |ψ_i⟩ 给出。
部分测量允许我们获取有关多比特系统中特定比特的信息，而不必测量整个系统。这在量子信息处理中是非常重要的，因为它允许我们对系统的一部分进行操作，而不会干扰其他部分。
案例
当涉及到部分测量时，我们可以使用下面的公式来表示过程：
假设我们有一个两比特系统，其状态表示为 ∣ a b ⟩ |ab⟩∣ab⟩，其中 a aa 和 b bb 表示两个比特的状态。我们希望对其中一个比特（比如 a 比特）进行测量。
首先，我们可以使用一个 CNOT 门来与比特 
bb 交互，将其作为控制比特，a a作为目标比特：∣ab⟩CNOT∣a,a⊕b⟩
在这里，⊕ \oplus⊕ 表示按位异或运算，它根据控制比特 b bb 来翻转目标比特 a aa。
然后，我们可以使用一个测量操作，如 Z 基测量，来确定目标比特 a aa 的状态。这个测量操作可以表示为：∣0⟩∣1⟩→∣0⟩→−∣1⟩
如果我们测量结果是 ∣ 0 ⟩ |0⟩∣0⟩，那么我们知道 a aa 比特的状态是 ∣ 0 ⟩ |0⟩∣0⟩；如果测量结果是 ∣ 1 ⟩ |1⟩∣1⟩，那么 a aa 比特的状态是 ∣ 1 ⟩ |1⟩∣1⟩。
这就是一个部分测量的过程，我们测量了两比特系统中的一个比特，并根据测量结果确定了该比特的状态，同时不干扰整个系统。这种过程在量子计算和量子通信中非常有用。
7、
Quantum Teleportation
发送量子比特存在一个重要问题，即如何在经典通信渠道上传输量子信息。这是因为在经典通信渠道上，信息以经典比特的形式传输，而量子信息以量子比特（或qubit）的形式存在。当我们试图将一个qubit从一个位置传输到另一个位置时，我们需要解决以下问题：
- No-Cloning Theorem: 根据量子力学的"不克隆定理"，不可能通过复制原始qubit来创建一个完全相同的副本。这使得在经典通信渠道上直接复制和传输qubit非常困难。
- Quantum Superposition and Entanglement: 量子信息通常以叠加态和纠缠态的形式存在。这使得传输量子信息时需要处理这些量子特性，而在经典通信中无法直接表示。
- Quantum Decoherence: 量子信息容易受到外部环境的干扰，导致量子干涉和相干性的丧失。在经典通信渠道上，这种干扰会导致信息的丧失。
一些量子通信协议和技术，如量子密钥分发（Quantum Key Distribution，QKD）和量子电传输协议。这些方法利用了量子纠缠和非经典的量子性质，以安全地传输和接收量子信息。
传递一个比特的信息（考点，刚好没复习到。。。和后面的压缩编码弄混了）
总览
电路图
Local Realism*
概率和为1
The Greenburger - Horn-Zeilinger（|GHZ>一种特殊多体量子态）
|GHZ>代表“Greenberger-Horne-Zeilinger”态，是量子力学中的一种特殊多体量子态。GHZ态最初由丹麦物理学家D. M. Greenberger、M. A. Horne和A. Zeilinger在1989年提出。
GHZ态，例如三粒子GHZ态，可以表示为：
∣GHZ⟩=2∣000⟩+∣111⟩
这表示三个量子比特的纠缠态，其中粒子在基态∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩和激发态∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩之间存在纠缠关系，使得它们同时处于这两种状态的叠加态。GHZ态的特殊性质使其在量子信息和量子计算中具有重要应用，包括量子纠缠和Bell不等式测试等。
GHZ态还可以扩展到更多的粒子，例如四粒子GHZ态，五粒子GHZ态等，其中所有粒子都处于相同的叠加态。这些态通常用于研究纠缠、Bell不等式、以及用于量子通信和量子计算的应用。
The Greenburger - Horn-Zeilinger argument*
“Greenberger-Horne-Zeilinger” 纠缠态论证，通常简称为 GHZ 论证，是一个用于展示量子力学的非经典性的论证。以下是 GHZ 论证的中文描述，每个公式都使用$符号包围，每个数学符号都使用 符号包围，每个数学符号都使用符号包围，每个数学符号都使用符号包围。
GHZ 论证的一个三粒子例子：
假设有三个粒子，每一个都处于纠缠态 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ |0\rangle + |1\rangle∣0⟩+∣1⟩，即：
∣ψ⟩=2∣000⟩+∣111⟩
接下来对这三个粒子进行一系列的测量。我们测量粒子 1，2 和 3 的 X XX 自旋（泡利矩阵 X XX 表示自旋在 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩ 之间的翻转）。
- 然后我们对测量结果进行比较，如果满足以下关系：
X1⋅X2⋅X3=−I
其中 X i X_iX i 表示第 i ii 个粒子的 X XX 自旋算符，I II 是单位矩阵。
GHZ 论证的结论：
- 如果上述关系成立，这意味着这三个粒子处于一个高度纠缠的态，这种态在经典物理学中是无法实现的。GHZ 论证展示了量子力学的一种非经典性质，即纠缠，它在经典物理学中无法解释。
这个论证的关键是，这种高度纠缠态无法用经典的局域隐藏变量理论来描述，这是 Bell 不确定性原理的一种扩展。 GHZ 论证揭示了量子力学与经典物理学之间的根本差异。
8、Quantum Algorithm
量子算法是一类旨在在量子计算机上执行的算法。与在经典计算机上运行的经典算法不同，量子算法利用量子力学原理执行某些类型的计算，以更高效地执行特定任务或解决经典计算机难以处理的问题。
最著名的量子算法之一是Shor算法，它可以指数级别地更快地因式分解大数，远远超过了已知的经典算法。这对于密码学具有重要影响，因为许多加密方法依赖于大数因式分解的困难性。
另一个重要的量子算法是Grover算法，它可以在无序数据库中进行二次搜索，比经典算法快。这在搜索未排序的列表或数据库等任务中有应用。
量子算法通常利用量子特性，如叠加、纠缠和干涉，以实现其计算优势。然而，需要注意的是，量子计算机仍处于早期开发阶段，构建和维护稳定、具有错误校正功能的量子硬件是一项重大挑战。
目前，实用的量子计算机相对较小且容易出现错误，但持续的研究和开发旨在克服这些挑战，释放量子算法的全部潜力。 
Deutsch’s algorithm（一次确认黑盒函数）
德沃什算法（Deutsch's algorithm）是量子计算中的一个早期算法，用于演示量子计算的速度优势。
该算法由David Deutsch于1985年提出，是量子计算的一个基本示例。
问题描述： 德沃什算法主要用于解决黑盒子问题，其中存在一个未知的布尔函数 f ff，该函数接受一个二进制输入 x xx 并产生一个二进制输出 f ( x ) f(x)f(x)。问题的目标是确定函数 f ff 的性质。
算法描述： 德沃什算法的目标是检查函数 f ff 是否具有“恒等”性质，即是否对所有可能的输入都产生相同的输出。这是一个二元函数，可以表示为 f : { 0 , 1 } → { 0 , 1 } f:\{0,1\}\rightarrow\{0,1\}f:{0,1}→{0,1}。
这就是德沃什算法的主要思想。通过这个算法，我们可以在仅一次调用黑盒子函数的情况下确定 f ff 的性质，而经典计算需要两次调用才能实现。
这展示了量子计算在某些特定问题上的速度优势。这个算法虽然简单，但它揭示了量子计算中一些重要的原理，如叠加和干涉。
one-out-of-four search（压缩编码，用一比特传送两比特的信息）
“One-out-of-four search” 是一个经典问题，通常用于演示量子计算的速度优势。这个问题的目标是在四个元素的数据库中查找特定的目标元素。
问题描述： 假设有一个包含四个元素的数据库，其中包含一个目标元素。数据库中的每个元素都有一个唯一的标签，如下所示：
∣00⟩ 对应标签 00
∣01⟩ 对应标签 01
∣ 10 ⟩ |10\rangle∣10⟩ 对应标签 10
∣ 11 ⟩ |11\rangle∣11⟩ 对应标签 11
目标是确定目标元素的标签，即 00、01、10 或 11。
经典解法： 在经典计算中，需要查询数据库四次以确定目标元素的标签。这需要平均查询两次才能找到目标。
量子算法： 使用量子计算，可以在一次查询中找到目标元素，这是一个量子搜索算法的示例。以下是算法的描述：
初始化：首先，创建一个量子系统，包含两个量子比特，初始状态为 ∣ 00 ⟩ |00\rangle∣00⟩。
量子操作：应用Hadamard门到每个量子比特，即 H ∣ 00 ⟩ = 1 2 ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) H|00\rangle = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)H∣00⟩= 21 (∣00⟩+∣01⟩+∣10⟩+∣11⟩)
查询：现在，应用一个查询操作，也被称为 Oracle 或黑盒子函数。这个函数会将目标元素的标签反转，其他元素保持不变。例如，如果目标是标签 11，Oracle 会执行以下操作：
∣00⟩Oracle∣00⟩
∣01⟩Oracle∣01⟩
∣10⟩Oracle∣10⟩
∣11⟩Oracle−∣11⟩
这一步使目标元素变为负号。这可以通过量子门实现，通常使用 CNOT 门。
- 反演操作：接下来，应用Hadamard门到每个量子比特，再次反转它们。
测量：最后，测量两个量子比特。如果得到结果 ∣ 11 ⟩ |11\rangle∣11⟩，则意味着目标元素的标签是 11。
这就是 “one-out-of-four search” 问题的量子解法，它展示了量子计算在某些问题上的速度优势。这个算法充分利用了量子叠加和干涉的性质，使得在一次查询中就能够找到目标元素。
Deutsch-Jozsa algorithm（确定给定函数的类型）
Deutsch-Jozsa 算法是一个量子计算算法，用于解决一种特定的问题，称为 “Deutsch 问题” 或 “Deutsch-Jozsa 问题”。这个问题可以概括为确定某个函数是“恒等函数”（对于所有输入都返回相同值）还是“均值函数”（对于一半的输入返回 0，另一半返回 1）。
Deutsch-Jozsa 算法的目标是：确定给定函数的类型，而不是找到确切的函数值。
问题描述： 给定一个函数 f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}f:{0,1} n →{0,1}，其中 n nn 是输入比特数。函数 f ff 可能是恒等函数（对于所有输入都返回相同值，即全 0 或全 1）或均值函数（对于一半输入返回 0，另一半返回 1）。
经典解法： 在经典计算中，确定给定函数是恒等函数还是均值函数需要查询函数两次。Deutsch-Jozsa 算法通过仅进行一次查询就能确定函数类型，充分利用了量子计算的优势。
Deutsch-Jozsa 算法： 以下是算法的描述：
Deutsch-Jozsa 算法通过在一次查询中确定函数类型，展示了量子计算的优越性。与经典算法相比，它显著提高了问题的解决效率。这个算法也是量子计算的一个基本示例，展示了量子并行性和量子干涉的概念。
三个算法的公式部分
量子计算与量子密码（入门级-少图版）（4）https://developer.aliyun.com/article/1508585?spm=a2c6h.13148508.setting.15.7c4f4f0eltTVrD
