量子计算与量子密码（入门级）（中）

在将一个量子电路 A 转换为另一个量子电路 B 时，可以按照以下方法进行：

1. 每个门转化为电路： 首先，确保电路 A 中的每个量子门可以被转化为一个等效的电路。这意味着每个门都必须有一个对应的电路表示。这通常涉及到将门的功能拆分为更基本的操作，然后构建等效的电路。
   
2. 使用电路替代门： 一旦每个门都有了等效的电路表示，那么可以使用这些电路来构建电路 B，而不是使用电路 A 中的原始门。这意味着将电路 A 中的门替换为等效的电路。
   
3. 高效率的： 这个过程通常是高效的，因为等效电路的构建可以根据电路 A 中的门的类型和功能进行自动化。这种转换可以通过计算机程序来完成，以确保精确性和效率。
   

这种转换的主要目的是将一个量子电路表示方式转化为另一种，以满足不同的需求或优化目的。这可以在量子算法的设计和优化中发挥关键作用，确保电路的正确性和高效性。

Reversibility可逆性

可逆性（Reversibility）是量子电路中的一个重要概念，它表示一个量子操作（门）可以完全逆转，不会导致信息的丧失。这一性质对于量子计算和信息处理至关重要。

1. 可逆性概念： 一个量子操作是可逆的，如果它可以完全逆转，不会导致信息的丧失。这意味着对于每个可能的输出状态，存在唯一的逆操作将其映射回输入状态。
   
2. 可逆操作的数学表示： 可逆操作通常表示为一个矩阵 U UU，其中存在逆矩阵 U − 1 U^{-1}U−1，使得 U − 1 U = U U − 1 = I U^{-1}U = UU^{-1} = IU−1U=UU−1=I，其中 I II 是单位矩阵。这表示 U UU 的操作可以被逆操作 U − 1 U^{-1}U−1 完全撤销。
   
3. 可逆性的公式表示： 可逆操作的数学公式可以表示为：
   U U − 1 = U − 1 U = I UU^{-1} = U^{-1}U = IUU−1=U−1U=I
   这个公式强调了可逆操作和逆操作之间的关系，以及它们的乘积等于单位矩阵。
   
4. 示例： 例如，Hadamard 门（H门）是一个可逆操作，其矩阵表示为：
   H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}H=21[111−1]
   H门是可逆的，因为存在逆操作 H − 1 H^{-1}H−1，满足 H H − 1 = H − 1 H = I HH^{-1} = H^{-1}H = IHH−1=H−1H=I。
   

可逆性是量子计算的一个基本原则，因为它确保计算的可逆性和信息的保持。在量子计算中，几乎所有操作都是可逆的，以确保计算的可撤销性。这对于量子算法和量子通信非常重要。

可逆门

可逆门（Reversible gates）是一类能够保持信息完整性的逻辑门，其中每个可能的输入都与一个唯一的输出相对应。在量子计算和量子电路中，可逆门是至关重要的，因为它们允许信息的精确反演，无论是在经典还是量子计算中。

以下是使门可逆的要求和特点：

1. 唯一映射： 可逆门必须是一种唯一的映射，其中每个可能的输入都与一个唯一的输出相对应。这意味着不能有两个不同的输入映射到相同的输出。
   
2. 输出数量等于输入数量： 如果一个门接受 n 个输入位，那么它必须产生 n 个输出位。这是因为门的功能必须是一对一的，以确保信息的无损传递。
   
3. 排列（Permutation）： 任何可逆门都是一个排列，它将输入的排列（一种有序的排列方式）映射到输出的排列。因此，可逆门实际上是排列群的一部分，其中每个排列都是一种双射（bijective）。
   
4. 标准逻辑门： 大多数传统的标准逻辑门（如 AND、OR、XOR）是不可逆的，因为它们不满足上述条件。这些门通常不具备唯一映射和等输入输出数量的特性。
   

在量子计算中，可逆门是基本的操作，它们被用于构建量子电路，以确保计算的可撤销性和信息完整性。因此，可逆门在量子计算中起到关键作用。

Garbage collection 垃圾收集

在量子计算中，垃圾收集（Garbage collection）是一个重要的概念，它涉及到清除不再需要的量子比特（qubit）以释放资源并维护计算的正确性。垃圾收集是确保量子计算正确性和资源有效利用的关键步骤。以下是垃圾收集的概念以及数学表示：

1. 垃圾收集概念： 在量子计算中，垃圾收集是指清除不再需要的量子比特或其他计算资源的过程。这些不再需要的资源可能是在计算的中间阶段产生的，但在后续计算中不再使用。垃圾收集旨在释放这些资源，以便它们可以被重新分配给其他操作或存储。
   
2. 垃圾收集的数学表示： 垃圾收集通常通过适当的量子门和操作来实现。其数学表示可以用以下公式表示：
   Garbage Collection ( q 1 , q 2 , … , q n ) = U ( q 1 , q 2 , … , q n ) \text{Garbage Collection}(q_1, q_2, \ldots, q_n) = U(q_1, q_2, \ldots, q_n)Garbage Collection(q1,q2,…,qn)=U(q1,q2,…,qn)
   这里，q 1 , q 2 , … , q n q_1, q_2, \ldots, q_nq1,q2,…,qn 表示不再需要的量子比特，而 U ( q 1 , q 2 , … , q n ) U(q_1, q_2, \ldots, q_n)U(q1,q2,…,qn) 表示将这些量子比特清除的垃圾收集操作。这个操作通常会将不再需要的量子比特重新设置为初始状态，以确保它们不会影响后续计算。
   
3. 垃圾收集的重要性： 垃圾收集是量子计算中的一个重要概念，因为量子比特的数量和资源是有限的。正确的垃圾收集可以确保计算的正确性和效率，防止不必要的资源泄漏。
   

垃圾收集是量子计算中的关键操作，它确保了计算的正确性和资源的有效利用。在实际的量子算法和电路设计中，垃圾收集是一个重要的优化和管理方面。

兰道尔原理（Landauer’s Principle）

是以物理学家Rolf Landauer的名字命名的，它是热力学和信息理论领域的一项基本原理。它建立了信息理论和热力学之间的联系，通过确定信息擦除和能量散失之间的关系。

兰道尔原理陈述了这样一个事实：任何不可逆的计算，擦除一个比特的信息，必须散失最少数量的能量，具体是以热的形式。这个最小的能量散失被称为兰道尔极限，它可以用以下公式表示：

E = k T ln ⁡ ( 2 ) E = kT \ln(2)E=kTln(2)

其中：

• E 是最小的能量散失（以焦耳为单位）。
• k 是玻尔兹曼常数（大约为每开尔文1.38 x 10^(-23)焦耳）。
• T 是温度（以开尔文为单位）。
• ln(2) 是2的自然对数。

关于兰道尔原理的要点：

1. 信息擦除： 该原理特别关注计算过程中信息的擦除。当信息被擦除（例如，将比特从1擦除为0）时，它会被不可逆地丧失。
   
2. 与热力学的关系： 兰道尔原理通过量化信息擦除导致的热能散失，将信息理论与热力学相联系。这表明信息处理背后存在与热力学相关的基本成本。
   
3. 最小能量散失： 兰道尔极限代表了信息擦除过程中的最小能量散失。它是一个基本的下限，任何进行信息擦除的计算过程都必须满足这一极限。
   
4. 可逆计算： 可逆计算，它能够保留信息，从原理上可以避免根据兰道尔原理所规定的能量散失。可逆计算是在量子计算和低功耗经典计算领域的研究中的一个重要领域。
   

兰道尔原理对于设计高效能量的计算系统和信息理论与热力学之间的关系具有重要意义，它是关于计算的物理极限的一个基本概念。

Garbage collection in reversible computing

Bennett showed how to get rid of junk by ‘uncomputing’.

Bennett的垃圾收集的目标是最小化资源浪费，并在量子计算中保持计算的可逆性，其中高效使用有限资源是一个关键挑战。这个概念与兰道尔原理密切相关，兰道尔原理建立了信息擦除和计算中能量散失之间的关系。

在可逆计算中，垃圾收集与“取消计算”（uncomputing）紧密相关，这个概念最早由Charles H. Bennett提出。可逆计算中的垃圾收集涉及清除或消除计算过程中生成的中间和不必要的状态，有效地“取消计算”这些状态以释放资源并保持可逆性。

以下是关于可逆计算中的垃圾收集的简要概述：

1. 取消计算： 取消计算是可逆计算中的一种技术，用于撤销某些计算步骤的效果。它涉及以相反的顺序执行计算，将系统还原到其初始状态。取消计算的目的是确保计算过程中不会丧失任何信息。
   
2. 中间状态： 在计算中，特别是在量子计算中，会生成许多中间状态。这些状态是瞬时的，可以积累为“垃圾”，占用资源，包括量子比特。为了保持可逆性并最小化资源使用，这些中间状态需要被消除。
   
3. 资源回收： 可逆计算中的垃圾收集旨在回收用于表示和存储中间状态的资源（例如量子比特、内存）。这是通过应用取消计算技术来撤销计算步骤的效果，将资源还原到其初始的非纠缠状态来实现的。
   
4. 效率和可逆性： 垃圾收集对于可逆计算至关重要，因为它确保计算可以在不丧失任何信息的情况下被撤销。它有助于量子算法的整体效率，并有助于管理量子计算机中有限的资源。
   
5. 量子误差修正： 垃圾收集还与量子误差修正相关，因为清理垃圾状态对于在计算过程中保持量子信息的完整性至关重要。量子误差修正编码通常包括垃圾收集技术作为其纠错程序的一部分。
   

垃圾收集和取消计算在可逆计算领域中起着至关重要的作用，尤其是在量子计算中，其中保持操作的可逆性和资源管理是基本挑战。这些技术对于实现高效且可靠的量子计算是必不可少的。

4、量子电路（2）

笔记

Dirac’s Bra-Ket formalism

Dirac notation符号

狄拉克符号，也称为布拉-凯特符号，是量子力学中广泛使用的符号表示法，用于表示量子态、算符和内积。这一符号表示法由物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）发展而来，已经成为表达量子物理概念的标准方式。

在狄拉克符号中：

1. 凯特矢量（|ψ⟩）： 凯特矢量，用|ψ⟩表示，代表一个量子态。它通常以某一基础下的列向量形式表示。凯特矢量|ψ⟩可以看作描述量子系统状态的状态矢量。
   
2. 布拉矢量（⟨ψ|）： 布拉矢量，用⟨ψ|表示，是凯特矢量的伴随或复共轭转置。它以行向量形式表示。布拉矢量⟨ψ|用于计算凯特矢量|ψ⟩与另一个凯特矢量的内积。内积的结果是一个复数。
   
3. 内积（⟨ψ|φ⟩）： 两个凯特矢量|ψ⟩和|φ⟩的内积用⟨ψ|φ⟩表示，它给出一个复数。它量化了这两个量子态之间的重叠度或相似度。
   
4. 算符（A）： 量子算符，如可观测量和变换算符，也使用狄拉克符号表示。一个算符A可以作用于凯特矢量|ψ⟩，表示为A|ψ⟩，以获得表示经过变换后的新凯特矢量。
   

狄拉克符号提供了一种简洁且数学上优雅的方式来描述量子态和操作。它特别适用于表达量子力学原理、进行计算和理解量子系统中不同状态和算符之间的关系。

内积概念

内积（Inner Product）的矩阵运算公式是在狄拉克符号（Bra-Ket符号）中表示两个量子态的内积，它量化了两个量子态之间的相似度或重叠度，对于量子计算和量子信息处理起着关键作用。

对于两个量子态|ψ⟩和|φ⟩，它们的内积可以用下面的公式表示：

如果|ψ⟩可以表示为列向量形式，如∣ ψ ⟩ = [ a b ] |ψ⟩ = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}∣ψ⟩=[ab]，而|φ⟩可以表示为列向量形式，如∣ φ ⟩ = [ c d ] |φ⟩ = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}∣φ⟩=[cd]，那么它们的内积⟨ψ|φ⟩可以通过矩阵乘法进行计算，即：

⟨ ψ ∣ φ ⟩ = [ a ∗ b ∗ ] [ c d ] = a ∗ c + b ∗ d ⟨ψ|φ⟩ = \begin{bmatrix} a^* & b^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = a^*c + b^*d⟨ψ∣φ⟩=[a∗b∗][cd]=a∗c+b∗d

其中，a和b是向量|ψ⟩的分量，c和d是向量|φ⟩的分量，*表示复共轭。

内积的计算

在量子力学中，⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩ 表示两个态之间的复数内积，通常用来计算概率或期望值等物理量。

⟨ a ∣ b ⟩ = ∣ a ⟩ † ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle = |a\rangle^\dagger |b\rangle⟨a∣b⟩=∣a⟩†∣b⟩

其中 ∣ a ⟩ † |a\rangle^\dagger∣a⟩† 表示 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的共轭转置。

如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 都是列向量，那么 ⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩ 就是一个 1 × 1 1 \times 11×1 的矩阵，也就是一个标量值。这个矩阵的表示是内积的值。

如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是多维向量，那么内积的矩阵表示将是一个 1 × 1 1 \times 11×1 的矩阵，也就是一个标量。

内积性质

以下是有关内积的一些重要性质和公式：

1. 线性性（Linearity）： 内积具有线性性质，这意味着对于两个量子态|u⟩和|v⟩以及任意复数a和b，内积满足线性组合的规则：
   ⟨ u ∣ ( a ∣ v ⟩ + b ∣ w ⟩ ) = a ⟨ u ∣ v ⟩ + b ⟨ u ∣ w ⟩ \langle u| (a|v⟩ + b|w⟩) = a\langle u|v⟩ + b\langle u|w⟩⟨u∣(a∣v⟩+b∣w⟩)=a⟨u∣v⟩+b⟨u∣w⟩
   
2. 复共轭交换性（Conjugate-commutativity）： 内积满足复共轭交换性，即对于两个量子态|u⟩和|v⟩，其内积的复共轭等于交换它们并分别取复共轭：
   ⟨ u ∣ v ⟩ = ⟨ v ∣ u ⟩ ∗ \langle u|v⟩ = \langle v|u⟩^*⟨u∣v⟩=⟨v∣u⟩∗
   
3. 范数的平方（“Norm squared”）： 内积的结果总是非负的，即对于任意量子态|u⟩，有⟨ u ∣ u ⟩ ≥ 0 \langle u|u⟩ \geq 0⟨u∣u⟩≥0。
   
4. 范数（Norm）： 一个量子态的范数表示为其自身与自身的内积的平方根。对于一个量子态|u⟩，其范数表示为：
   ∥ u ∥ = ⟨ u ∣ u ⟩ \|u\| = \sqrt{\langle u|u⟩}∥u∥=⟨u∣u⟩
   
5. 张量积（Tensor Products）： 内积的张量积可以表示为两个量子态的内积的乘积。对于两个量子态|u⟩和|v⟩，它们的张量积内积表示为：
   ⟨ u ∣ ⊗ ⟨ v ∣ = ⟨ u ∣ v ⟩ \langle u| \otimes \langle v| = \langle u|v⟩⟨u∣⊗⟨v∣=⟨u∣v⟩
   
6. Bracket（括号）：⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩
   
7. 布拉矢量与凯特矢量的关系：⟨ a ∣ = ∣ a ⟩ ∗ \langle a| = |a\rangle^*⟨a∣=∣a⟩∗
   
8. 归一化向量的内积：⟨ a ∣ a ⟩ = 1 \langle a|a\rangle = 1⟨a∣a⟩=1
   
9. 正交向量的内积：⟨ a ∣ b ⟩ = 0 \langle a|b\rangle = 0⟨a∣b⟩=0
   

希望这种表示方式对您有所帮助。如果您需要进一步的解释或有其他问题，请随时提问。

外积（Tensor Product）

外积用符号 ⊗ 表示，它用于组合两个或多个量子比特、以形成一个多量子比特系统。

外积的概念非常重要，因为它允许我们描述和分析多比特系统的状态和操作。

性质和矩阵表示：

1. 外积的概率性质：

• 在多比特系统中，一个状态的外积与另一个状态的外积相乘会生成一个新的组合状态。
• 外积表示不同比特之间的相互作用，它描述了系统中不同比特的联合状态。

2. 矩阵表示：

• 外积的矩阵表示可以通过 Kronecker 乘积来表示。对于矩阵A AA和B BB，它们的外积A ⊗ B A \otimes BA⊗B表示为：

3. A ⊗ B = [ a 11 B a 12 B … a 1 n B a 21 B a 22 B … a 2 n B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B a m 2 B … a m n B ] A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \ldots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \ldots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \ldots & a_{mn}B \end{bmatrix}A⊗B=a11Ba21B⋮am1Ba12Ba22B⋮am2B……⋱…a1nBa2nB⋮amnB
   
4. 外积的性质：

• 对于两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它们的外积表示为：∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ |a\rangle \otimes |b\rangle∣a⟩⊗∣b⟩
• 外积满足分配律，即∣ a ⟩ ⊗ ( ∣ b ⟩ + ∣ c ⟩ ) = ∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ + ∣ a ⟩ ⊗ ∣ c ⟩ |a\rangle \otimes (|b\rangle + |c\rangle) = |a\rangle \otimes |b\rangle + |a\rangle \otimes |c\rangle∣a⟩⊗(∣b⟩+∣c⟩)=∣a⟩⊗∣b⟩+∣a⟩⊗∣c⟩。
• 如果两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩分别属于不同的比特，则它们的外积是直积，表示为：∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ = ∣ a ⟩ ∣ b ⟩ |a\rangle \otimes |b\rangle = |a\rangle |b\rangle∣a⟩⊗∣b⟩=∣a⟩∣b⟩
• 如果两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩分别属于相同的比特，则它们的外积是张量积，表示为：∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ = ∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ |a\rangle \otimes |b\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle∣a⟩⊗∣b⟩=∣a⟩⊗∣b⟩
• 
  

外积的性质和矩阵表示是在处理多比特系统中的量子态和操作时非常有用的工具。它允许我们描述复杂的多比特系统，并进行相应的计算和分析。

The bra-ket of distinct vectors

不同矢量的布拉-凯特积（bra-ket）通常为零，这表示它们在内积上是正交的。

具体来说，对于两个不同的矢量∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它们的内积表示为⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩，并且通常等于零：

⟨ a ∣ b ⟩ = 0 \langle a|b\rangle = 0⟨a∣b⟩=0

这意味着不同矢量在内积上的投影为零，它们在量子力学中通常被视为正交的态。这一性质对于处理多比特系统和进行测量等操作非常有用。

⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩表示两个量子态 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 的内积。内积的矩阵表示可以通过列向量和行向量的乘积来实现。假设 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 是列向量，∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是列向量的话，⟨ a ∣ \langle a|⟨a∣ 就是 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的共轭转置，即行向量。

Brackets and probabilities概率

1. 布拉-凯特符号：

• 布拉矢量（bra vector）：⟨ ψ ∣ \langle \psi |⟨ψ∣
• 凯特矢量（ket vector）：∣ ϕ ⟩ | \phi \rangle∣ϕ⟩
• 内积（inner product）：⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ \langle \psi | \phi \rangle⟨ψ∣ϕ⟩
• 布拉-凯特积（bra-ket product）：∣ ϕ ⟩ ⟨ ψ ∣ | \phi \rangle \langle \psi |∣ϕ⟩⟨ψ∣
• 布拉-凯特积的概率表示：P ( ϕ → ψ ) = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2 P(\phi \rightarrow \psi) = |\langle \psi | \phi \rangle|^2P(ϕ→ψ)=∣⟨ψ∣ϕ⟩∣2

回顾一下，当我们有一个量子态 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它在某个基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 上的投影（内积）的平方，即 ∣ ⟨ 0 ∣ b ⟩ ∣ 2 |\langle 0|b\rangle|^2∣⟨0∣b⟩∣2，表示了在该态中观察到基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 的概率。这概率可以用以下方式表示：

P ( ∣ 0 ⟩ → ∣ b ⟩ ) = ∣ ⟨ 0 ∣ b ⟩ ∣ 2 P(|0\rangle \rightarrow |b\rangle) = |\langle 0|b\rangle|^2P(∣0⟩→∣b⟩)=∣⟨0∣b⟩∣2

一般的原则是，对于给定的量子态 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，在观察到它处于量子态 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的概率是 ∣ ⟨ a ∣ b ⟩ ∣ 2 |\langle a|b\rangle|^2∣⟨a∣b⟩∣2。

需要注意的是，不同的测量结果是正交的，这意味着如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是不同的态，它们的内积为零，即 ⟨ a ∣ b ⟩ = 0 \langle a|b\rangle = 0⟨a∣b⟩=0。这反映了在量子力学中不同的测量结果是正交的，它们不会同时发生。

这些原理在量子测量和概率计算中起着关键作用，帮助我们理解观测结果的概率性质。

用途：酉操作U的表示，每个部分对应不同基态的作用。

布拉和凯特符号（Bras and Kets）在量子力学中有多种用途，包括表示量子操作和态矢量。

例如，使用布拉和凯特表示一个酉操作（unitary operation）U，以及如何将它分解成一系列布拉和凯特的和。

酉操作U可以表示为以下方式，包括了U作用在基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩ 上的四个不同部分。：

U = U 00 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + U 01 ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ + U 10 ∣ 1 ⟩ ⟨ 0 ∣ + U 11 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ U = U_{00}|0\rangle\langle 0| + U_{01}|0\rangle\langle 1| + U_{10}|1\rangle\langle 0| + U_{11}|1\rangle\langle 1|U=U00∣0⟩⟨0∣+U01∣0⟩⟨1∣+U10∣1⟩⟨0∣+U11∣1⟩⟨1∣

这种表示的优点是，可以更容易地理解酉操作U对不同基态的影响。

此外，可以将U的效果分解成不同部分，每部分对应一个基态。

在这种表示中，布拉和凯特符号用于表示U作用在不同基态上的结果，以便更清楚地展示U的效果。

构建U的矩阵表示

Single Qubit Gate

单量子比特门（Single Qubit Gate）是用来操作单个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的单量子比特门及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：

1. Pauli-X门：

• 矩阵表示：
  X = [ 0 1 1 0 ] X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}X=[0110]
• 公式表示：X ∣ 0 ⟩ = ∣ 1 ⟩ X|0\rangle = |1\rangleX∣0⟩=∣1⟩，X ∣ 1 ⟩ = ∣ 0 ⟩ X|1\rangle = |0\rangleX∣1⟩=∣0⟩
• 电路表示：X

2. Pauli-Y门：

• 矩阵表示：
  Y = [ 0 − i i 0 ] Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}Y=[0i−i0]
• 公式表示：Y ∣ 0 ⟩ = i ∣ 1 ⟩ Y|0\rangle = i|1\rangleY∣0⟩=i∣1⟩，Y ∣ 1 ⟩ = − i ∣ 0 ⟩ Y|1\rangle = -i|0\rangleY∣1⟩=−i∣0⟩
• 电路表示：Y

3. Pauli-Z门：

• 矩阵表示：
  Z = [ 1 0 0 − 1 ] Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}Z=[100−1]
• 公式表示：Z ∣ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ Z|0\rangle = |0\rangleZ∣0⟩=∣0⟩，Z ∣ 1 ⟩ = − ∣ 1 ⟩ Z|1\rangle = -|1\rangleZ∣1⟩=−∣1⟩
• 电路表示：Z

4. Hadamard门：

• 矩阵表示：
  H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}H=21[111−1]
• 公式表示：H ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)H∣0⟩=21(∣0⟩+∣1⟩)，H ∣ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)H∣1⟩=21(∣0⟩−∣1⟩)
• 电路表示：H

Amplitude-Rotation门和Phase-Rotation门是单量子比特门，用于旋转量子比特的幅度和相位。它们通常用以下方式表示：

5. Amplitude-Rotation门（通常用Ry门表示）：

• 矩阵表示：
  R y ( θ ) = [ cos ⁡ ( θ 2 ) − sin ⁡ ( θ 2 ) sin ⁡ ( θ 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) ] Ry(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\theta}{2}) & -\sin(\frac{\theta}{2}) \\ \sin(\frac{\theta}{2}) & \cos(\frac{\theta}{2}) \end{bmatrix}Ry(θ)=[cos(2θ)sin(2θ)−sin(2θ)cos(2θ)]
• 公式表示：R y ( θ ) ∣ 0 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ − sin ⁡ ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ Ry(\theta)|0\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle - \sin(\frac{\theta}{2})|1\rangleRy(θ)∣0⟩=cos(2θ)∣0⟩−sin(2θ)∣1⟩
• 电路表示：Ry(θ \thetaθ)

Amplitude-Rotation门允许您旋转量子比特的振幅，其中 θ \thetaθ 是旋转角度。

6. Phase-Rotation门（通常用Rz门表示）：

• 矩阵表示：
  R z ( ϕ ) = [ e − i ϕ 2 0 0 e i ϕ 2 ] Rz(\phi) = \begin{bmatrix} e^{-i\frac{\phi}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\phi}{2}} \end{bmatrix}Rz(ϕ)=[e−i2ϕ00ei2ϕ]
• 公式表示：R z ( ϕ ) ∣ 0 ⟩ = e − i ϕ 2 ∣ 0 ⟩ Rz(\phi)|0\rangle = e^{-i\frac{\phi}{2}}|0\rangleRz(ϕ)∣0⟩=e−i2ϕ∣0⟩，R z ( ϕ ) ∣ 1 ⟩ = e i ϕ 2 ∣ 1 ⟩ Rz(\phi)|1\rangle = e^{i\frac{\phi}{2}}|1\rangleRz(ϕ)∣1⟩=ei2ϕ∣1⟩
• 电路表示：Rz(ϕ \phiϕ)

Phase-Rotation门允许您旋转量子比特的相位，其中 ϕ \phiϕ 是旋转角度。

7. Rx门（绕X轴旋转门）：

• 矩阵表示：
  R x ( θ ) = [ cos ⁡ ( θ 2 ) − i sin ⁡ ( θ 2 ) − i sin ⁡ ( θ 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) ] Rx(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\theta}{2}) & -i\sin(\frac{\theta}{2}) \\ -i\sin(\frac{\theta}{2}) & \cos(\frac{\theta}{2}) \end{bmatrix}Rx(θ)=[cos(2θ)−isin(2θ)−isin(2θ)cos(2θ)]
• 公式表示：R x ( θ ) ∣ 0 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ − i sin ⁡ ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ Rx(\theta)|0\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle - i\sin(\frac{\theta}{2})|1\rangleRx(θ)∣0⟩=cos(2θ)∣0⟩−isin(2θ)∣1⟩
• 电路表示：Rx(θ \thetaθ)

这些门在量子计算中用于执行各种幅度和相位的旋转操作，以便进行量子算法和量子信息处理。您可以使用这些门来构建复杂的量子电路，实现各种量子计算任务。

这些是一些单量子比特门的示例，它们在量子计算中用于执行不同的操作。您可以根据需要使用这些门的矩阵、公式和电路表示来进行量子计算。

Two qubit operations

双量子比特操作（Two-qubit operations）是用于操作两个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的双量子比特操作及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：

1. CNOT门（Controlled-X门）：

• 矩阵表示：
  CNOT = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] \text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}CNOT=1000010000010010
• 公式表示：CNOT门在目标比特为∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩时不执行操作，在目标比特为∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩时对控制比特进行X门操作。
• 电路表示：CNOT

2. SWAP门：

• 矩阵表示：
  SWAP = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] \text{SWAP} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}SWAP=1000001001000001
• 公式表示：SWAP门交换两个比特的状态。
• 电路表示：SWAP

3. CZ门（Controlled-Z门）：

• 矩阵表示：
  CZ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 ] \text{CZ} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}CZ=100001000010000−1
• 公式表示：CZ门在目标比特为∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩时对控制比特进行Z门操作。
• 电路表示：CZ

这些是一些常见的双量子比特操作的示例。它们用于执行不同的控制操作，例如翻转、交换或相位操作，以便在量子计算中实现各种量子算法和任务。

电路表示及其运算

控制U门

“控制-U 门”，通常表示为C-U门，是一种常见的两量子比特门，其中门的作用取决于第一个量子比特（控制比特）的状态。其操作可以描述如下：

• 如果控制比特处于状态∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩，则门不对目标比特进行任何操作。
• 如果控制比特处于状态∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩，则门将对目标比特应用酉操作U。

就门如何影响基态而言，可以将其表示如下：

• 如果控制比特是∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩，则门不改变目标比特的状态。例如，如果目标比特处于状态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩，结果仍然是∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩。
  
• 如果控制比特是∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩，则门将酉操作U应用于目标比特。如果目标比特处于状态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩，结果变为U|a⟩。
  

控制-U门是量子计算和量子算法中的基本组件，允许根据控制比特的状态执行条件操作。它通常用于创建实施受控操作的量子电路。

控制-U门的具体矩阵形式如下，假设第一个比特是控制比特，第二个比特是目标比特，U 是被控制的酉操作矩阵：

C − U = [ I 0 0 U ] C-U = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}C−U=[I00U]

这里，I 表示2x2的单位矩阵，0 表示2x2的零矩阵，U 是被控制的酉操作矩阵。

CN门

Other qubit Gates

H+CN

当将Hadamard门（H门）同时应用于多个量子比特时，可以从n个零的状态|0,…,0⟩创建2^n个状态的均匀叠加态。这可以表示如下：

从全零状态开始，同时将H门应用于每个量子比特：

∣ 0 , … , 0 ⟩ → H ⊗ n 1 2 n ∑ x = 0 2 n − 1 ∣ x ⟩ |0,\ldots,0\rangle \xrightarrow{H^{\otimes n}} \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x=0}^{2^n-1}|x\rangle∣0,…,0⟩H⊗n2n1x=0∑2n−1∣x⟩

这个操作创建了对长度为n的所有可能比特字符串的叠加态。每个量子比特被放置在|0⟩和|1⟩的叠加态中，导致了所有2^n个可能状态的均匀叠加。

这种叠加态是量子计算中的一个基本概念，允许量子算法同时在所有可能状态上执行并行计算。

其他

控制-控制-非门（CCNOT）门:

CCNOT: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CCNOT的作用是 |a, b, c⟩ 变为 |a, b, c⨁(a∧b)⟩。

控制-控制-Z门（CC-Z）:

CC-Z: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CC-Z的作用是 |a, b, c⟩ 变为 (-1)^(a∧b∧c)|a, b, c⟩。

控制-p-相位旋转门:

对于所有的(a, b)∈{0,1}^2，s-gate的作用是 |a, b⟩ 变为 e^(iπab)|a, b⟩。

注意: s-gate 恒等于 Pauli-Y 门。

5、量子电路（3）

笔记

Controlled operations等价电路

Universal quantum gate sets

• 任何作用在k比特上的酉操作U都可以表示为CNOT门和单比特门的电路。
• 这个实现需要O(4^k)个门。
  因此，CNOT门和单比特门是通用的。

例如，使用R门和CX门来模拟控制-Rk门。

以下是使用LaTeX表示的控制-Rk门和控制-R门的模拟公式：

1. 控制-Rk门的模拟：
   C X ( k − 1 , k ) ⋅ R k ⋅ CX ( k − 1 , k ) {CX}^{(k-1,k)} \cdot R_k \cdot \text{CX}^{(k-1,k)}CX(k−1,k)⋅Rk⋅CX(k−1,k)
   其中，C X ( k − 1 , k ) CX^{(k-1,k)}CX(k−1,k) 表示控制比特 k-1 上的X门作用在目标比特 k 上。
   
2. 控制-R门的模拟：
   C X ( 0 , k ) ⋅ R ⋅ CX ( 0 , k ) {CX}^{(0,k)} \cdot R \cdot \text{CX}^{(0,k)}CX(0,k)⋅R⋅CX(0,k)
   这里，C X ( 0 , k ) CX^{(0,k)}CX(0,k) 表示控制比特0上的X门作用在目标比特 k 上。
   
3. 等价关系公式：
   ∣ R ( k ) ⟩ = CX ( k − 1 , k ) ⋅ R k ⋅ CX ( k − 1 , k ) ⋅ ∣ R ( k − 1 ) ⟩ |R^{(k)}\rangle = \text{CX}^{(k-1,k)} \cdot R_k \cdot \text{CX}^{(k-1,k)} \cdot |R^{(k-1)}\rangle∣R(k)⟩=CX(k−1,k)⋅Rk⋅CX(k−1,k)⋅∣R(k−1)⟩
   其中 ∣ R ( k ) ⟩ |R^{(k)}⟩∣R(k)⟩表示k比特的状态，∣ R ( k − 1 ) ⟩ |R^{(k-1)}⟩∣R(k−1)⟩ 表示k-1比特的状态。
   

等价关系

1. X门（又称Pauli-X门）：

• X 2 = I X^2 = IX2=I
• X T = X X^T = XXT=X

2. Y门（又称Pauli-Y门）：

• Y 2 = I Y^2 = IY2=I
• Y T = − Y Y^T = -YYT=−Y
• Y = i X Z Y = iXZY=iXZ，其中Z门是Pauli-Z门

3. Z门（又称Pauli-Z门）：

• Z 2 = I Z^2 = IZ2=I
• Z T = Z Z^T = ZZT=Z
• Z = − i X Y Z = -iXYZ=−iXY，其中Y门是Pauli-Y门

这些等价关系描述了Pauli门之间的运算性质，以及它们的平方等于单位矩阵的特性。这些门在量子计算中非常重要，因为它们用于构建各种量子电路操作。

旋转门

以下是量子计算中的旋转门，它们允许绕Bloch球上的不同轴旋转量子比特状态。这些门对于执行任意单比特操作非常重要。最常见的旋转门包括：

1. 绕Z轴旋转（Rz门）：

• 矩阵表示：R z ( θ ) = [ e − i θ / 2 0 0 e i θ / 2 ] Rz(\theta) = \begin{bmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{bmatrix}Rz(θ)=[e−iθ/200eiθ/2]
• 此门围绕Z轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。

2. 绕X轴旋转（Rx门）：

• 矩阵表示：R x ( θ ) = [ cos ⁡ ( θ / 2 ) − i sin ⁡ ( θ / 2 ) − i sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) ] Rx(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}Rx(θ)=[cos(θ/2)−isin(θ/2)−isin(θ/2)cos(θ/2)]
• 此门围绕X轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。

3. 绕Y轴旋转（Ry门）：

• 矩阵表示：R y ( θ ) = [ cos ⁡ ( θ / 2 ) − sin ⁡ ( θ / 2 ) sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) ] Ry(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}Ry(θ)=[cos(θ/2)sin(θ/2)−sin(θ/2)cos(θ/2)]
• 此门围绕Y轴将量子比特状态旋转一个角度θ \thetaθ。

这些旋转门的参数是角度θ \thetaθ，它们用于执行任意单比特转换。选择不同的θ \thetaθ决定了应用于量子比特状态的旋转量，允许对量子状态进行灵活的操作。

1比特通用操作

这些操作符可以用来构建所有的1比特操作。定理如下：

对于每个1比特酉操作U，存在实数a、b、c、d，使得

U = e i a R x ( θ ) R y ( ϕ ) R z ( λ ) U = e^{ia}Rx(\theta)Ry(\phi)Rz(\lambda)U=eiaRx(θ)Ry(ϕ)Rz(λ)

其中a 、 b 、 c 、 d a、b、c、da、b、c、d是实数。

从这个更小的操作集合可以生成任何可能的1比特门。这意味着，使用旋转操作Rx、Ry和Rz，我们可以实现所有可能的1比特操作。

其作用

控制-控制-U门

一个特殊情况…

• 假设U = V^2，其中V是某个酉矩阵。
  问题：这真的是一个特殊情况吗？

不，这不是一个特殊情况。在量子计算中，控制-控制-U门通常表示为一个操作，其中U代表一个酉操作，而不仅仅是U的平方。在通用的控制-控制-U门中，U可以是任何酉操作，而不限于某个酉操作的平方。因此，这并不是一个特殊情况，而是一种通用的量子门操作。

C k U C^kUCkU门

继续模拟C k U C^kUCkU门，一些特点包括：

• 辅助工作空间被“清理”。
• 模拟需要O(k)个门操作。
• 这可以在没有辅助工作空间的情况下完成，但需要O(k^2)个门操作。

这意味着在模拟Cku门时，可以通过使用干净的辅助工作空间来提高效率，而不需要额外的辅助比特，从而减少门操作的数量。

Construct arbitrary states如何构造任意状态（没搞懂，只看了一遍）

准备任意状态

以固定输入为例，比如 ∣ 000 ⟩ |000⟩∣000⟩，我们如何准备一个任意的三比特状态 ∣ a b c ⟩ |abc⟩∣abc⟩？

其中 a aa、b bb、c cc ∈ {0,1} 且 j = 0 , 1 j = 0,1j=0,1

• 我们将考虑所有的“分支”：
  ∣ 000 ⟩ |000⟩∣000⟩；∣ 001 ⟩ |001⟩∣001⟩…∣ 110 ⟩ |110⟩∣110⟩；∣ 111 ⟩ |111⟩∣111⟩

对于每个分支，我们分别：

1. 分配一个振幅。
2. 分配一个相位。

To assign amplitudes分配振幅

分配振幅的方法如下：

首先，我们需要明确一个三比特状态 ∣ a b c ⟩ |abc⟩∣abc⟩ 具有八个可能的分支，其中 a , b , c a, b, ca,b,c 可以分别为 0 或 1。

• 对于每个分支，我们将分配一个振幅 α a b c j \alpha_{abcj}αabcj，其中 a , b , c a, b, ca,b,c 为相应的比特值，j jj 为该分支的编号。
  
• 因此，我们得到了八个不同的振幅：α 0000 , α 0001 , α 0010 , α 0011 , α 0100 , α 0101 , α 0110 , α 0111 \alpha_{0000}, \alpha_{0001}, \alpha_{0010}, \alpha_{0011}, \alpha_{0100}, \alpha_{0101}, \alpha_{0110}, \alpha_{0111}α0000,α0001,α0010,α0011,α0100,α0101,α0110,α0111。
  
• 这些振幅构成了我们期望的三比特状态 ∣ a b c ⟩ |abc⟩∣abc⟩ 的波函数的一部分。
  
• 在实际应用中，这些振幅可以是任意复数。
  
• 
  
  
  
  

分配相位

接下来，我们将继续为每个分支分配相应的相位，然后展示如何创建一个任意的三比特状态。

• 为了分配相位，我们需要引入相位角度 θ a b c j \theta_{abcj}θabcj，其中 a , b , c a, b, ca,b,c 表示相应的比特值，j jj 表示分支编号。
  
• 我们需要选择相位角度 θ a b c j \theta_{abcj}θabcj 以确保所创建的状态是有效的。
  
• 通常，我们可以选择 θ a b c j \theta_{abcj}θabcj 为零，因为这将使事情变得更容易。
  
• 一旦我们分配了振幅和相位，我们将通过将它们组合在一起来构建所需的状态。最终，我们将获得一个任意的三比特状态 ∣ a b c ⟩ |abc⟩∣abc⟩。
  
• 下面是该状态的波函数表示：
  

∣ a b c ⟩ = ∑ j = 0 7 α a b c j e i θ a b c j ∣ j ⟩ |abc⟩ = \sum_{j=0}^{7} \alpha_{abcj}e^{i\theta_{abcj}}|j⟩∣abc⟩=j=0∑7αabcjeiθabcj∣j⟩

通过分配适当的振幅和相位，我们可以创建任何所需的三比特状态。

6、量子电路（4）

Actually using QMgates

这是一个著名的量子计算示例，它涉及了量子纠缠和量子态叠加的原理。

Alice总是获胜的原因在于量子态的叠加和干涉效应。为什么Alice总是获胜：

1. 初始硬币状态：Alice准备的硬币状态是 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ |0\rangle + |1\rangle∣0⟩+∣1⟩，这是一个等概率的叠加态，其中 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 代表正面，∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩ 代表反面。
   
2. Bob的操作：Bob可以对硬币应用一个Flip操作，这实际上是一个X门，将 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 变成 ∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩，将 ∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩ 变成 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩。
   
3. Alice的操作：Alice接收到硬币后，她执行了一个Hadamard操作（H门）：∣ 0 ⟩ → 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)∣0⟩→21(∣0⟩+∣1⟩)。这将硬币状态变为 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) (|0\rangle + |1\rangle)(∣0⟩+∣1⟩)。
   
4. 游戏结果：在Alice执行H门之后，硬币的状态变为 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) (|0\rangle + |1\rangle)(∣0⟩+∣1⟩)。这是一个均匀的叠加态，因此无论她选择叫出“正面”还是“反面”，硬币都会以相等的概率处于两种可能的状态。
   

Alice总是获胜的原因在于她的Hadamard操作引入了叠加态，使得硬币处于正面和反面的均匀叠加状态。因此，无论她选择哪一面，都有50%的概率获胜。这展示了量子叠加态的力量，其中硬币处于两种状态的叠加，而不是经典硬币只能处于一种状态。