量子计算与量子密码（入门级-少图版）（1）https://developer.aliyun.com/article/1508499
4、量子电路（2）
笔记
Dirac’s Bra-Ket formalism
Dirac notation符号
狄拉克符号，也称为布拉-凯特符号，是量子力学中广泛使用的符号表示法，用于表示量子态、算符和内积。这一符号表示法由物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）发展而来，已经成为表达量子物理概念的标准方式。
在狄拉克符号中：
- 凯特矢量（|ψ⟩）： 凯特矢量，用|ψ⟩表示，代表一个量子态。它通常以某一基础下的列向量形式表示。凯特矢量|ψ⟩可以看作描述量子系统状态的状态矢量。
- 布拉矢量（⟨ψ|）： 布拉矢量，用⟨ψ|表示，是凯特矢量的伴随或复共轭转置。它以行向量形式表示。布拉矢量⟨ψ|用于计算凯特矢量|ψ⟩与另一个凯特矢量的内积。内积的结果是一个复数。
- 内积（⟨ψ|φ⟩）： 两个凯特矢量|ψ⟩和|φ⟩的内积用⟨ψ|φ⟩表示，它给出一个复数。它量化了这两个量子态之间的重叠度或相似度。
- 算符（A）： 量子算符，如可观测量和变换算符，也使用狄拉克符号表示。一个算符A可以作用于凯特矢量|ψ⟩，表示为A|ψ⟩，以获得表示经过变换后的新凯特矢量。
狄拉克符号提供了一种简洁且数学上优雅的方式来描述量子态和操作。它特别适用于表达量子力学原理、进行计算和理解量子系统中不同状态和算符之间的关系。
内积概念
内积（Inner Product）的矩阵运算公式是在狄拉克符号（Bra-Ket符号）中表示两个量子态的内积，它量化了两个量子态之间的相似度或重叠度，对于量子计算和量子信息处理起着关键作用。
对于两个量子态|ψ⟩和|φ⟩，它们的内积可以用下面的公式表示：
如果|ψ⟩可以表示为列向量形式，如∣ψ⟩=[ab]，而|φ⟩可以表示为列向量形式，如∣φ⟩=[cd]，那么它们的内积⟨ψ|φ⟩可以通过矩阵乘法进行计算，即：
⟨ψ∣φ⟩=[a∗b∗][cd]=a∗c+b∗d
其中，a和b是向量|ψ⟩的分量，c和d是向量|φ⟩的分量，*表示复共轭。
内积的计算
在量子力学中，⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩ 表示两个态之间的复数内积，通常用来计算概率或期望值等物理量。⟨a∣b⟩=∣a⟩†∣b⟩
其中 ∣ a ⟩ † |a\rangle^\dagger∣a⟩ † 表示 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的共轭转置。
如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 都是列向量，那么 ⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩ 就是一个 1 × 1 1 \times 11×1 的矩阵，也就是一个标量值。这个矩阵的表示是内积的值。
如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是多维向量，那么内积的矩阵表示将是一个 1 × 1 1 \times 11×1 的矩阵，也就是一个标量。
内积性质
以下是有关内积的一些重要性质和公式：
线性性（Linearity）： 内积具有线性性质，这意味着对于两个量子态|u⟩和|v⟩以及任意复数a和b，内积满足线性组合的规则：
- ⟨u∣(a∣v⟩+b∣w⟩)=a⟨u∣v⟩+b⟨u∣w⟩
复共轭交换性（Conjugate-commutativity）： 内积满足复共轭交换性，即对于两个量子态|u⟩和|v⟩，其内积的复共轭等于交换它们并分别取复共轭：
⟨u∣v⟩=⟨v∣u⟩∗
范数的平方（“Norm squared”）： 内积的结果总是非负的，即对于任意量子态|u⟩，有
⟨u∣u⟩≥0。
范数（Norm）： 一个量子态的范数表示为其自身与自身的内积的平方根。对于一个量子态|u⟩，其范数表示为：
∥u∥=⟨u∣u⟩
张量积（Tensor Products）： 内积的张量积可以表示为两个量子态的内积的乘积。对于两个量子态|u⟩和|v⟩，它们的张量积内积表示为：
⟨u∣⊗⟨v∣=⟨u∣v⟩
Bracket（括号）：
⟨a∣b⟩
布拉矢量与凯特矢量的关系：
⟨a∣=∣a⟩∗
归一化向量的内积：
⟨a∣a⟩=1
正交向量的内积：
⟨a∣b⟩=0
希望这种表示方式对您有所帮助。如果您需要进一步的解释或有其他问题，请随时提问。
外积（Tensor Product）
外积用符号 ⊗ 表示，它用于组合两个或多个量子比特、以形成一个多量子比特系统。
外积的概念非常重要，因为它允许我们描述和分析多比特系统的状态和操作。
性质和矩阵表示：
- 外积的概率性质：
- 在多比特系统中，一个状态的外积与另一个状态的外积相乘会生成一个新的组合状态。
- 外积表示不同比特之间的相互作用，它描述了系统中不同比特的联合状态。
矩阵表示：
外积的矩阵表示可以通过 Kronecker 乘积来表示。对于矩阵A AA和B BB，它们的外积A ⊗ B A \otimes BA⊗B表示为：
外积的性质：
对于两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它们的外积表示为：
∣a⟩⊗∣b⟩
外积满足分配律，即
∣a⟩⊗(∣b⟩+∣c⟩)=∣a⟩⊗∣b⟩+∣a⟩⊗∣c⟩
如果两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩分别属于不同的比特，则它们的外积是直积，表示为：
- ∣a⟩⊗∣b⟩=∣a⟩∣b⟩
如果两个量子态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩分别属于相同的比特，则它们的外积是张量积，表示为：
- ∣a⟩⊗∣b⟩=∣a⟩⊗∣b⟩
外积的性质和矩阵表示是在处理多比特系统中的量子态和操作时非常有用的工具。它允许我们描述复杂的多比特系统，并进行相应的计算和分析。
The bra-ket of distinct vectors
不同矢量的布拉-凯特积（bra-ket）通常为零，这表示它们在内积上是正交的。
具体来说，对于两个不同的矢量∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩和∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它们的内积表示为⟨ a ∣ b ⟩ \langle a|b\rangle⟨a∣b⟩，并且通常等于零：
⟨a∣b⟩=0
这意味着不同矢量在内积上的投影为零，它们在量子力学中通常被视为正交的态。这一性质对于处理多比特系统和进行测量等操作非常有用。
⟨a∣b⟩表示两个量子态 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 的内积。内积的矩阵表示可以通过列向量和行向量的乘积来实现。假设 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 是列向量，∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是列向量的话，⟨ a ∣ \langle a|⟨a∣ 就是 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的共轭转置，即行向量。
Brackets and probabilities概率
布拉矢量（bra vector）：⟨ ψ ∣ \langle \psi |⟨ψ∣
凯特矢量（ket vector）：∣ ϕ ⟩ | \phi \rangle∣ϕ⟩
内积（inner product）：⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ \langle \psi | \phi \rangle⟨ψ∣ϕ⟩
布拉-凯特积（bra-ket product）：∣ ϕ ⟩ ⟨ ψ ∣ | \phi \rangle \langle \psi |∣ϕ⟩⟨ψ∣
布拉-凯特积的概率表示：P ( ϕ → ψ ) = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2 P(\phi \rightarrow \psi) = |\langle \psi | \phi \rangle|^2P(ϕ→ψ)=∣⟨ψ∣ϕ⟩∣ 2
回顾一下，当我们有一个量子态 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，它在某个基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 上的投影（内积）的平方，即 ∣ ⟨ 0 ∣ b ⟩ ∣ 2 |\langle 0|b\rangle|^2∣⟨0∣b⟩∣
2 ，表示了在该态中观察到基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 的概率。这概率可以用以下方式表示：
P(∣0⟩→∣b⟩)=∣⟨0∣b⟩∣2
一般的原则是，对于给定的量子态 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩，在观察到它处于量子态 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 的概率是 ∣ ⟨ a ∣ b ⟩ ∣ 2 |\langle a|b\rangle|^2∣⟨a∣b⟩∣ 2 。
需要注意的是，不同的测量结果是正交的，这意味着如果 ∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩ 和 ∣ b ⟩ |b\rangle∣b⟩ 是不同的态，它们的内积为零，即 ⟨ a ∣ b ⟩ = 0 \langle a|b\rangle = 0⟨a∣b⟩=0。这反映了在量子力学中不同的测量结果是正交的，它们不会同时发生。这些原理在量子测量和概率计算中起着关键作用，帮助我们理解观测结果的概率性质。
用途：酉操作U的表示，每个部分对应不同基态的作用。
布拉和凯特符号（Bras and Kets）在量子力学中有多种用途，包括表示量子操作和态矢量。
例如，使用布拉和凯特表示一个酉操作（unitary operation）U，以及如何将它分解成一系列布拉和凯特的和。
酉操作U可以表示为以下方式，包括了U作用在基态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩ 上的四个不同部分。：
U=U00∣0⟩⟨0∣+U01∣0⟩⟨1∣+U10∣1⟩⟨0∣+U11∣1⟩⟨1∣
这种表示的优点是，可以更容易地理解酉操作U对不同基态的影响。
此外，可以将U的效果分解成不同部分，每部分对应一个基态。
在这种表示中，布拉和凯特符号用于表示U作用在不同基态上的结果，以便更清楚地展示U的效果。
构建U的矩阵表示
Single Qubit Gate
单量子比特门（Single Qubit Gate）是用来操作单个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的单量子比特门及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：
Pauli-X门：
- 矩阵表示：
X=[0110]
公式表示：X ∣ 0 ⟩ = ∣ 1 ⟩ X|0\rangle = |1\rangleX∣0⟩=∣1⟩，X ∣ 1 ⟩ = ∣ 0 ⟩ X|1\rangle = |0\rangleX∣1⟩=∣0⟩
- 电路表示：X
Pauli-Y门：
- 矩阵表示：
Y=[0i−i0]
公式表示：Y ∣ 0 ⟩ = i ∣ 1 ⟩ Y|0\rangle = i|1\rangleY∣0⟩=i∣1⟩，Y ∣ 1 ⟩ = − i ∣ 0 ⟩ Y|1\rangle = -i|0\rangleY∣1⟩=−i∣0⟩
- 电路表示：Y
Pauli-Z门：
- 矩阵表示：
Z=[100−1]
公式表示：Z ∣ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ Z|0\rangle = |0\rangleZ∣0⟩=∣0⟩，Z ∣ 1 ⟩ = − ∣ 1 ⟩ Z|1\rangle = -|1\rangleZ∣1⟩=−∣1⟩
- 电路表示：Z
Hadamard门：
- 矩阵表示：
H=21[111−1]
公式表示：H ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)H∣0⟩= 21 (∣0⟩+∣1⟩)，H ∣ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle -|1\rangle)H∣1⟩= 21 (∣0⟩−∣1⟩)
- 电路表示：H
Amplitude-Rotation门和Phase-Rotation门是单量子比特门，用于旋转量子比特的幅度和相位。它们通常用以下方式表示：
Amplitude-Rotation门（通常用Ry门表示）：
- 矩阵表示：
Ry(θ)=[cos(2θ)sin(2θ)−sin(2θ)cos(2θ)]
公式表示：R y ( θ ) ∣ 0 ⟩ = cos ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ − sin ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ Ry(\theta)|0\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle - \sin(\frac{\theta}{2})|1\rangleRy(θ)∣0⟩=cos( 2θ )∣0⟩−sin( 2θ )∣1⟩
电路表示：Ry(θ \thetaθ)
Amplitude-Rotation门允许您旋转量子比特的振幅，其中 θ \thetaθ 是旋转角度。Phase-Rotation门（通常用Rz门表示）：
- 矩阵表示：
Rz(ϕ)=[e−i2ϕ00ei2ϕ]
公式表示：R z ( ϕ ) ∣ 0 ⟩ = e − i ϕ 2 ∣ 0 ⟩ Rz(\phi)|0\rangle = e^{-i\frac{\phi}{2}}|0\rangleRz(ϕ)∣0⟩=e −i 2ϕ ∣0⟩，R z ( ϕ ) ∣ 1 ⟩ = e i ϕ 2 ∣ 1 ⟩ Rz(\phi)|1\rangle = e^{i\frac{\phi{2}}|1\rangleRz(ϕ)∣1⟩=e i 2ϕ ∣1⟩
电路表示：Rz(ϕ \phiϕ)
Phase-Rotation门允许您旋转量子比特的相位，其中 ϕ \phiϕ 是旋转角度。
Rx门（绕X轴旋转门）：
- 矩阵表示：
Rx(θ)=[cos(2θ)−isin(2θ)−isin(2θ)cos(2θ)]
公式表示：R x ( θ ) ∣ 0 ⟩ = cos ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ − i sin ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ Rx(\theta)|0\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle - i\sin(\frac{\theta}{2})|1\rangleRx(θ)∣0⟩=cos( 2θ )∣0⟩−isin( 2θ )∣1⟩
电路表示：Rx(θ \thetaθ)
这些门在量子计算中用于执行各种幅度和相位的旋转操作，以便进行量子算法和量子信息处理。您可以使用这些门来构建复杂的量子电路，实现各种量子计算任务。
这些是一些单量子比特门的示例，它们在量子计算中用于执行不同的操作。您可以根据需要使用这些门的矩阵、公式和电路表示来进行量子计算。
Two qubit operations
双量子比特操作（Two-qubit operations）是用于操作两个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的双量子比特操作及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：
CNOT门（Controlled-X门）：
- 矩阵表示：
公式表示：CNOT门在目标比特为∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩时不执行操作，在目标比特为∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩时对控制比特进行X门操作。
- 电路表示：CNOT
SWAP门：
- 矩阵表示：
- 公式表示：SWAP门交换两个比特的状态。
- 电路表示：SWAP
CZ门（Controlled-Z门）：
- 矩阵表示：
- 公式表示：CZ门在目标比特为∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩时对控制比特进行Z门操作。
- 电路表示：CZ
这些是一些常见的双量子比特操作的示例。它们用于执行不同的控制操作，例如翻转、交换或相位操作，以便在量子计算中实现各种量子算法和任务。
电路表示及其运算
控制U门
“控制-U 门”，通常表示为C-U门，是一种常见的两量子比特门，其中门的作用取决于第一个量子比特（控制比特）的状态。其操作可以描述如下：
- 如果控制比特处于状态∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩，则门不对目标比特进行任何操作。
- 如果控制比特处于状态∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩，则门将对目标比特应用酉操作U。
就门如何影响基态而言，可以将其表示如下：
- 如果控制比特是∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩，则门不改变目标比特的状态。例如，如果目标比特处于状态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩，结果仍然是∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩。
- 如果控制比特是∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩，则门将酉操作U应用于目标比特。如果目标比特处于状态∣ a ⟩ |a\rangle∣a⟩，结果变为U|a⟩。
控制-U门是量子计算和量子算法中的基本组件，允许根据控制比特的状态执行条件操作。它通常用于创建实施受控操作的量子电路。
控制-U门的具体矩阵形式如下，假设第一个比特是控制比特，第二个比特是目标比特，U 是被控制的酉操作矩阵：
C−U=[I00U]
这里，I 表示2x2的单位矩阵，0 表示2x2的零矩阵，U 是被控制的酉操作矩阵。
CN门
Other qubit Gates
H+CN
当将Hadamard门（H门）同时应用于多个量子比特时，可以从n个零的状态|0,…,0⟩创建2^n个状态的均匀叠加态。这可以表示如下：
从全零状态开始，同时将H门应用于每个量子比特：
∣0,…,0⟩H⊗n2n1x=0∑2n−1∣x⟩
这个操作创建了对长度为n的所有可能比特字符串的叠加态。每个量子比特被放置在|0⟩和|1⟩的叠加态中，导致了所有2^n个可能状态的均匀叠加。
这种叠加态是量子计算中的一个基本概念，允许量子算法同时在所有可能状态上执行并行计算。
其他
控制-控制-非门（CCNOT）门:
CCNOT: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CCNOT的作用是 |a, b, c⟩ 变为 |a, b, c⨁(a∧b)⟩。
控制-控制-Z门（CC-Z）:
CC-Z: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CC-Z的作用是 |a, b, c⟩ 变为 (-1)^(a∧b∧c)|a, b, c⟩。
控制-p-相位旋转门:
对于所有的(a, b)∈{0,1}^2，s-gate的作用是 |a, b⟩ 变为 e^(iπab)|a, b⟩。
注意: s-gate 恒等于 Pauli-Y 门。
量子计算与量子密码（入门级-少图版）（3）https://developer.aliyun.com/article/1508547?spm=a2c6h.13148508.setting.16.7c4f4f0eltTVrD
