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在选择最佳拟合实验数据的方程时，可能需要一些经验。当我们没有文献信息时该怎么办？我们建立模型的方法通常是经验主义的。也就是说，我们观察过程，绘制数据并注意到它们遵循一定的模式（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。
简介
例如，我们的客户可能观察到一种植物对某种毒性物质的反应是S形的。因此，我们需要一个S形函数来拟合我们的数据，但是，我们如何选择正确的方程呢？
我认为列出最常见的方程以及它们的主要特性和参数的意义可能会有用。因此，我还将给出相应的R函数。
非线性回归的一个问题是它以迭代方式工作：我们需要提供模型参数的初始猜测值，算法逐步调整这些值，直到（有希望）收敛到近似最小二乘解。根据我的经验，提供初始猜测可能会很麻烦。因此，使用包含R函数非常方便，这可以极大地简化拟合过程。
让我们加载必要的包。
library(nlme)
曲线形状
曲线可以根据其形状进行简单分类，这对于选择正确的曲线来研究过程非常有帮助。我们有：
- 多项式
- 线性方程
- 二次多项式
- 凹/凸曲线（无拐点）
- 指数方程
- 渐近方程
- 负指数方程
- 幂曲线方程
- 对数方程
- 矩形双曲线
- Sigmoid 曲线
- 逻辑方程
- Gompertz 方程
- 对数-逻辑方程（Hill 方程）
- Weibull 类型 1
- Weibull 类型 2
- 具有最大值的曲线
- Brain-Cousens 方程
多项式
多项式是描述生物过程的最灵活的工具。它们简单，并且虽然是曲线状的，但它们在参数上是线性的，并且可以通过使用线性回归来拟合。一个缺点是它们不能描述渐近过程，而这在生物学中非常常见。此外，它们容易过度拟合，因为我们可能会试图添加项来改善拟合，而很少关心生物现实性。
线性方程
显然，这不是一条曲线，尽管值得在这里提到。方程为：
其中 b0 是当 X = 0 时 Y 的值，b1 是斜率，即 X 增加/减少一个单位时 Y 的增加/减少。当 b1>0 时，Y 随着 X 的增加而增加，否则随之减少。
二次方程
该方程为：
其中，当 X=0 时， b0 是 Y 的值，当 X=0 时， b1和 b2 各自没有明确的生物学意义。然而，考虑到一阶导数为：
它测量了在 X 增加一个单位时 Y 的增加/减少。我们可以看到这种增加/减少不是恒定的，而是根据 X 的水平而变化。
在最大值/最小值处，响应为：
R 中的多项式拟合
在 R 中，可以使用线性模型函数 'lm()' 进行多项式拟合。虽然这不是高效的方法，但在某些情况下，我发现自己需要使用 'nls()' 或 'drm()' 函数进行多项式拟合。
凹/凸曲线
让我们进入非线性领域。凹/凸曲线描述了非线性关系，通常带有渐近线和无拐点。我们将列出以下最常用的曲线类型。
指数方程
指数方程描述了递增/递减的趋势，具有恒定的相对速率。最常见的参数化形式是：
其他可能的参数化形式包括：
上述参数化形式是等价的，可以通过设置
以及
参数的含义很明确：当 X=0 时， a 是 Y 的值，而 k 表示 X 增加一个单位对 Y 的相对增加/减少。如果我们计算指数函数的一阶导数：
D( expression(a * exp(k * X)), "X")
从上面我们可以得出结论：通过 X 绘制的切线的斜率为 k，也就是 (k, Y)。因此，Y 增加的量与其实际水平成比例。
moel <- drm(Cnc ~ ime fc = DRC.pDcay(), daa =eradtion) sumay(mdel)
plt(mdel, log="")
'drc' 包还包含 'EXD.2()' 函数，它拟合了一个稍微不同参数化的指数衰减模型：
其中，d与上述模型中的a相同，e=1/k。
我将同时展示EXD.2（蓝色曲线）和EXD.3（红色曲线）的示例。
curve(EXD.fun(x, 0, 100, -1/0.05), col="blue", xlab = "X", ylab = "Y", main = "指数衰减", xlim = c(0, 100), ylim = c(0,100)) curve(EXD.fun(x, 20, 100, -1/0.05), col="red", add = T)
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R语言nlme、nlmer、lme4用（非）线性混合模型non-linear mixed model分析藻类数据实例
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渐近回归模型
渐近回归模型描述了有限增长，其中当X趋于无穷大时，Y趋近于一个水平渐近线。这个方程有多种不同的参数化形式，也被称为单分子生长、Mitscherlich定律或von Bertalanffy定律。
由于其生物学意义，最常见的参数化形式是：
其中a是最大可达到的Y，b是x=0时Y的值为0，c与Y随X增加而相对速率成比例。事实上，我们可以看出它的一阶导数是：
D(exesion(a - (a - b) * exp (- c * X)), "X")
即：
我们可以看到生长的相对速率并不是常数（如指数模型中），而是在Y=0时最大，并随着Y的增加而减小。
让我们模拟一个示例。
model <- rmY ~ X, fct = DC.syReg()) plot(odl, log="", main = "渐近回归")
负指数方程
如果我们在上述方程中加上限制条件b=0，我们得到以下方程，通常被称为“负指数方程”：
这个方程的形状与渐近回归类似，但当X=0时，Y=0（曲线通过原点）。它通常用于建模吸收的光合有效辐射（Y=PARa）与入射光合有效辐射（a=PARi）、叶面积指数（X=LAI）和消光系数（c=k）之间的关系。
幂函数曲线
幂函数曲线也被称为弗洛伊德方程或者等比方程，最常用的参数化形式如下：
这个曲线与X的对数上的指数曲线等效，实际上可以表示为：
对于X→∞，曲线并没有渐近线。斜率（一阶导数）为：
D(expression(a * X^b), "X")
我们可以看到两个参数与曲线的斜率有关，b决定了曲线的形状。当0<−b<1时，随着X的增加，Y也会增加，曲线呈现凸向上的形状。例如，这个模型可以用于根据采样面积来建模植物物种数量（Muller-Dumbois方法）。
moel <- drm(nuSces ~ Aea, fct = DCowCurve(), data = spieAra) summary(mdel)
plot(oel, log="")
如果b<0，曲线将呈现凹向上的形状，Y随着X的增加而减少。
curve
如果b>1且为负数，曲线将呈现凹向上的形状，Y随着X的增加而增加。
curve(powerC
R语言非线性方程数值分析生物降解、植物生长数据：多项式、渐近回归、米氏方程、逻辑曲线、Gompertz、Weibull曲线（下）：https://developer.aliyun.com/article/1498729
