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在许多情况下，我们没有足够的计算能力评估空间中所有n维像素的后验概率 。在这些情况下，我们倾向于利用称为Markov-Chain Monte Carlo 算法的程序 。此方法使用参数空间中的随机跳跃来（最终）确定后验分布（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。
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马尔科夫链蒙特卡洛方法
MCMC的关键如下：
跳跃概率的比例与后验概率的比例成正比。
跳跃概率可以表征为：
概率（跳跃）*概率（接受）
从长远来看，该链将花费大量时间在参数空间的高概率部分，从而实质上捕获了后验分布。有了足够的跳跃，长期分布将与联合后验概率分布匹配。
MCMC本质上是一种特殊类型的随机数生成器，旨在从难以描述（例如，多元，分层）的概率分布中采样。在许多/大多数情况下，后验分布是很难描述的概率分布。
MCMC使您可以从实际上不可能完全定义的概率分布中进行采样！
令人惊讶的是，MCMC的核心并不难于描述或实施。让我们看一个简单的MCMC算法。
Metropolis-Hastings算法
该算法与模拟退火算法非常相似。
MH算法可以表示为：
Prob（acceptB | A）= min（1，Posterior（B）Posterior（A）⋅Prob（b→a）Prob（a→b））
请注意，从本质上讲，这与“ Metropolis”模拟退火算法相同，后验概率代替了概率，并且 k 参数设置为1。
二元正态例子
请记住，MCMC采样器只是随机数生成器的一种。我们可以使用Metropolis-Hastings采样器来开发自己的随机数生成器，生成进行简单的已知分布。在此示例中，我们使用MH采样器从标准双变量正态概率分布生成随机数。
对于这个简单的示例，我们不需要MCMC采样器。一种实现方法是使用以下代码，该代码从具有相关参数ρ的双变量标准正态分布中绘制并可视化任意数量的独立样本。
################# ＃MCMC采样的简单示例 ################# ######### # ＃首先，让我们构建一个从双变量标准正态分布生成随机数的函数 rbvn<-function (n, rho) #用于从二元标准正态分布中提取任意数量的独立样本。 { x <- rnorm(n, 0, 1) y <- rnorm(n, rho * x, sqrt(1 - rho^2)) cbind(x, y) } ######### # 现在，从该分布图中绘制随机抽样 bvn<-rbvn(10000,0.98) par(mfrow=c(3,2)) plot(bvn,col=1:10000
############### # ＃Metropolis-Hastings双变量正态采样器的实现... library(mvtnorm) # 加载一个包，该包使我们能够计算mv正态分布的概率密度 metropoli<- function (n, rho=0.98){ # 双变量随机数生成器的MCMC采样器实现 mat <- matrix(ncol = 2, nrow = n) # 用于存储随机样本的矩阵 x <- 0 # 所有参数的初始值 prev <- dmvnorm(c(x,y),mean=c(0,0),sig # 起始位置分布的概率密度 mat[1, ] <- c(x, y) # 初始化马尔可夫链 newx <- rnorm(1,x,0.5) # 进行跳转 newprob <- dmvnorm(c(newx,newy),sigma = # 评估跳转 ratio <- newprob/prev # 计算旧位置（跳出）和建议位置（跳到）的概率之比。 prob.accept <- min(1,ratio) # 决定接受新跳跃的概率！ if(rand<=prob.accept){ x=newx;y=newy # 将x和y设置为新位置 mat[counter,] <- c(x,y) # 将其存储在存储阵列中 prev <- newprob # 准备下一次迭代
然后，我们可以使用MH采样器从该已知分布中获取随机样本…
########### # 测试新的M-H采样器 bvn<-metropoli(10000,0.98) par(mfrow=c(3,2)) plot(bvn,col=1:10000) plot(bvn,type=
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R语言用WinBUGS 软件对学术能力测验建立层次（分层）贝叶斯模型
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让我们尝试解决一个问题。
MCMC对粘液瘤病进行调查
############ #黏液病示例的MCMC实现 ############
subset(MyxDat,grade==1
## grade day titer ## 1 1 2 5.207 ## 2 1 2 5.734 ## 3 1 2 6.613 ## 4 1 3 5.997 ## 5 1 3 6.612 ## 6 1 3 6.810
选择使用Gamma分布。这是经验分布：
########### # 第100次可视化粘液病数据 hist(Myx$titer,freq=FALSE)
我们需要估算最适合此经验分布的伽马速率和形状参数。这是适合此分布的Gamma的一个示例：
######### # ...覆盖生成模型的数据（伽玛分布） curve(dgamma(x,shape=40,scale=0.15),add=T,col="red")
二维（对数）似然面：
############## # 定义二维参数空间 ############## shapevec <- seq(3,100,by=0.1) scalevec <- seq(0.01,0.5,by=0.001) ############## # ＃定义参数空间内此网格上的似然面 ############## GammaLogLikelihoodFunction <- function(par } surface2D <- matrix(nrow=length(shapevec),ncol=length(scalevec)) #初始化存储变量 newparams <- c(sha surface2D[i,j] <- GammaLogLikelihoodFunction(newparams) ############ # 可视化似然面 ############ contour(x=shapevec,y=scalevec,z=surface2D,levels=c(-30,-40,-80,-500),add=T)
这是MH算法的实现，用于找到后验分布！
首先，我们需要一个似然函数–这次，我们将返回真实概率–而不是对数转换的概率
############ #编写非对数转换的似然函数 GammaLike- function(params){ prod(dgamma(Myx$titer,shape=params['shape'] params <- c(shape=40,
## shape scale ## 40.00 0.15
GammaLike(params)
## [1] 2.906766e-22
GammaLogLike(params)
## [1] -49.58983
然后，我们需要预先分配参数！在这种情况下，我们分配gamma（shape = 0.01，scale = 100）和gamma（shape = 0.1，scale = 10）的分布（均值为1且方差略低）：
############# # 函数返回参数空间中任意点的先验概率密度 GammaPriorFunction <- function(params){ prior <- c(shape=NA,scale=NA) ],3,100) # prior['scale'] <- dunif(params[' GammaLogPriorFunction <- function(params){ prior <- c(shape=NA,scale=NA) '],shape=0.001,scale=1000,log=T) # prior['shape'] <- dunif(params['shape'],3,100) # prior['scale'] <- dunif(params[' curve(dgamma(x,shape=0.01,scale=1000),3,100)
params
## shape scale ## 40.00 0.15
GammaPrior(params)
## [1] 1.104038e-06
prior2D <- matrix(nrow=length(shapevec),ncol=length(scalevec)) # 初始化存储变量 newparams <- c(shape=50,scale=0 for(j in 1:length(scalevec)){ newparams['scale'] <- sca ############ # 可视化似然面 ############ image(x=shapevec,y=scalevec,z=prior2D,zlim
contour(x=shapevec,y=scalevec,z=prior2D,levels=c(-30,-40,-80,-500),add=T)
我们假设形状和比例 在先验中是 独立的（联合先验的乘法概率）。然而，并没有对后验参数相关性提出相同的假设，因为概率可以反映在后验分布中。
然后，我们需要一个函数，该函数可以计算参数空间中任何给定跳转的后验概率比率。因为我们正在处理 后验概率的 比率，所以 我们不需要计算归一化常数。
无需归一化常数，我们只需要计算加权似然比（即先验加权的似然比）
############ # 函数用于计算参数空间中任意两点之间的后验密度比 PosteriorRatio <- function(oldguess,newguess oldLik <- max(1e-90,GammaLikelihoodFunction(oldguess)) # 计算旧猜测的可能性和先验密度 newLik <- GammaLikelihoodFunction(newguess) # 在新的猜测值下计算可能性和先验密度 return((newLik*newPrior)/(oldLik*oldPrior)) # 计算加权似然比 } PosteriorRatio2 <- function(oldguess,newguess){ oldLogLik <- GammaLogLikelihoodFunction(oldguess) # 计算旧猜测的可能性和先验密度 newLogLik <- GammaLogLikelihoodFunction(newguess) # 在新的猜测值下计算可能性和先验密度 return(exp((newLogLik+newLogPrior)-(oldLogLik+oldLogPrior))) # 计算加权似然比 }
## [1] 0.01436301
PosteriorRatio2(oldguess,newguess)
## [1] 0.01436301
然后，我们需要一个函数进行新的推测或在参数空间中跳转：
############ # 为参数空间中的跳转定义：使用正态分布函数进行新的推测 newGuess <- function(oldguess) jump <- c(shape=rnorm(1,mean=0,sd=sdshapejump),scale=rnorm(1,0,sdscalejump)) newguess <- abs(oldguess + ju } # 在原始推测附近设置新的推测 newGuess(oldguess=params)
## shape scale ## 35.7132110 0.1576337
newGuess(oldguess=params)
## shape scale ## 45.1202345 0.2094243
newGuess(oldguess=params)
## shape scale ## 42.87840436 0.08152061
现在，我们准备实现Metropolis-Hastings MCMC算法：
我们需要一个初始点：
########## # 在参数spacer中设置起点 startingvals <- c(shape=75,scale=0.28) # 算法的起点
测试函数
########### # 尝试我们的新函数 newguess <- newGuess(startingvals) # 在参数空间中跳跃 newguess
## shape scale ## 73.9663949 0.3149796
PosteriorRatio2(startingvals,newguess) # 后验比例差异
## [1] 2.922783e-57
现在让我们看一下Metropolis-Hastings：
############### #可视化Metropolis-Hastings chain.length <- 11 gth,ncol=2) colnames(guesses) <- names(startingvals) guesses[1,] <- startingvals counter <- 2 post.rat <- PosteriorRatio2(oldguess,newguess) prob.accept <- min(1,post oldguess <- newguess guesses[coun #可视化 contour(x=shapevec,y=scal
我们运行更长的时间
########## # 获取更多MCMC示例 chain.length <- 100 oldgu counter <- 2 while(counter <= chain.length){ newguess <- newGuess(oldguess) post.rat <- Posterio rand <- runif(1) if(rand<=prob.accept){ ewguess counter=counte #可视化 image(x=shapevec,y=scalevec,z=su urface2D,levels=c(-30,-40,-80,-5 lines(guesses,col="red")
R语言BUGS/JAGS贝叶斯分析: 马尔科夫链蒙特卡洛方法（MCMC）采样（下）：https://developer.aliyun.com/article/1493704
